Задача условный экстремум

[Student24]

Здравствуйте!
Очень нужна Ваша помощь в решении задачи на условный экстремум (именно на УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ, хотя многие говорят, что она не на него и я сам могу решить простым экстремумом, но в том то вся и загводка, что мне сказали решить ее УСЛОВНЫМ ЭКСТРЕМУМОМ). В этой задаче я не могу понять какое уранение связи и как его вывести.
Задача:
На плоскости XOY найти точку M(x,y), сумма квадратов расстояний которой от трех прямых х=0, y=0, x-y+1=0 была бы наименьшей.

Заранее спасибо за помощь!

[Хорхе]

Я имел в виду такое: надо минимизировать $d_a^2+d_b^2+d_c^2$ при условии $d_a\, BC + d_b\, AC + d_c\, AB = S_{ABC}$. Имеем $AB=AC=1$, $BC=\sqrt{2}$, $S_{ABC}=1/2$. Получим $d_b=d_c=1/4$, $d_a=\sqrt{2}/4$.

[Student24]

Не очень понял, где у Вас уравнение связи, объясните, пожалуйста, поподробней.

-- Пт июн 18, 2010 15:16:45 --

Если писать общее уравнение, то оно выглядит так: f(x,y) = x^2 + y^2 + ((x-y+1)^2)/2 и это факт.
А вот насчет уравнение связи не понятно.

-- Пт июн 18, 2010 15:25:58 --

Да нет, хотят имеено увидеть одно уравнение связи к основному уравнению, ссылаясь на то, что его можно найти из части условия, что точка находиться на плоскости XOY.

[gris]

То есть обычный параболоид головой вниз.
А не могли Вы пропустить, например, условие принадлежности точки какой-то прямой? Тогда уж классическая задача на условный экстремум.
Ну можно совершенно искусственно рассмотреть задачу в трёхмерном пространстве с координатами точки $(x;y;z)$ и написать условие $z=0$.
Но это уж прямо даже и не знаю, как назвать.

[Student24]

Это задача №2039 из "Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов" под ред. Б. П. Демидовича. Уже несколько раз проверял условие, но это все что есть. Не могу понять в чем загвоздка...

-- Пт июн 18, 2010 15:31:22 --

Рассматривал этот вариант с z=0, но в результате оно не имеет связи с основным уравнением.

[Хорхе]

Student24 в сообщении #332478 писал(а):

Не очень понял, где у Вас уравнение связи, объясните, пожалуйста, поподробней.

В моем предыдущем сообщении не так много уравнений, среди них есть уравнение связи.

[gris]

Посмотрел задачник Демидовича, там нет никакого требования, что Вашу задачу надо решать через условный экстремум. Вам показалось.

[Student24]

Да и в этом учебнике, тоже не сказано, что надо решить условным экстремумом. Но, понимаете, преподаватель, хочет, чтобы эта задача была решена именно условным экстремумом и утверждает, что из этого условия можно найти уравнение связи.

[gris]

Я уже и в Ваш задачник заглянул.

Ну тогда единственное предположение, что преподаватель подразумевет, что точка должна находиться внутри треугольника, образованного прямыми.

[Student24]

Хорхе в сообщении #332486 писал(а):

Student24 в сообщении #332478 писал(а):

Не очень понял, где у Вас уравнение связи, объясните, пожалуйста, поподробней.

В моем предыдущем сообщении не так много уравнений, среди них есть уравнение связи.

Если вы имели ввиду, что:

math/acd874972243f34013e9104bebbbf06e82.gif - уравнение связи, то при переходе на координаты x и y, получается:

x*1+y*1+((x-y+1)/корень из 2)*корень из 2 = 1/2

при сокращении получаем x= -1/4 и при решении задачи x действительно будет равно -1/4, а y = 1/4, но можно ли в качестве уравнения связи использовать : x= - 1/4?

-- Пт июн 18, 2010 15:55:47 --

gris в сообщении #332492 писал(а):

Ну тогда единственное предположение, что он подразумевет, что точка должна находиться внутри треугольника, образованного прямыми.

согласен и тогда уравнение связи брать с использоваением треугольника?

[gris]

А вообще-то минимум в какой точке находится? Если без условия?

$2f(x,y) = 2x^2 + 2y^2 + (x-y+1)^2=3x^2+3y^2-2xy+2x-2y+1$

$f(x,y)_x = 3x-y+1=0$

$f(x,y)_y =3y-x-1=0$

[Student24]

в точке (-1/4; 1/4) получается, если решать без условного экстремума.

[gris]

Ага, то есть эта точка вне треугольника. Ну тогда приплыли.
Надо находить минимум функции на каждой стороне.
Может быть можно ограничится $x=0$, если разные уловки с градиентом применить?

[Student24]

gris в сообщении #332499 писал(а):

Ага, то есть эта точка вне треугольника. Ну тогда приплыли.
Надо находить минимум функции на каждой стороне.
Может быть можно ограничится $x=0$, если разные уловки с градиентом применить?

Там как раз точка внутри треугольника: треугольник находится в положительной части оси y и отрицательной оси x.
А нахождение минимума на каждой стороне, это уже не условный экстремум.

[gris]

Ой, точно. Ну тогда надо сказать, что раз функция везде дифференцируема, выпукла вниз, то минимум у неё абсолютный и во всех других точках её значение строго больше.
Тогда может быть имелось в виду, что точка вне треугольника.
Может быть лучше показать ему своё решение, да уточнить, что он хотел?