Задача на ТФКП

[abacaba]

Условия задачи - на картинке


Собственно, я начал решать, рассмотрев интеграл \int\limits_{|z|=N+1/2}^{}{\frac{f(z)}{sin \pi z}dz} и вычислив его через вычеты. Вычеты эти при переходе к N \to \infty как раз и дают левую и правую часть доказываемой формулы, и теперь нужно только на основании сделанных предположений доказать, что сам интеграл при этом будет равен 0. Тут-то я и застопорился. Говорят, нужно оценить его с помощью леммы Жордана, но я с ней никогда особенно не дружил.
Буду благодарен за любую помощь.

[Полосин]

Воспользуйтесь оценкой $|\sin\pi z|\ge c>0$ при $z$, близких к $N+1/2$, равенством $\sin\pi z=ie^{-i\pi z}(1-e^{2i\pi z})/2$ при $Im\,z\ge b>0$ и леммой Жордана.

[abacaba]

Спасибо, доктор, помогло. )

[abacaba]

Неожиданно начались проблемы. Преподаватель-аспирант предложенное решение категорически отверг, сказав, что на нижней полуокружности лемму Жордана применить нельзя и порекомендовал перестать тратить время впустую и доказать, что $1/{sin \pi z}$ не устремляется бесконечно к нулю в точках окружности $|z|=N+1/2$, рассмотрев для этого отдельно верхнюю полуокружность, нижнюю полуокружность и полосу вдоль оси Re(z).
Я что-то его совсем перестал понимать.