Элементы теории чисел. Делимость.

[Marina]

Помогите, пожалуйста, доказать , что если $n$ не делится на 5, то его квадрат, уменьшенный или увеличенный на 1, делится на 5.
Если $n\not \vdots 5$, то ($n^2\pm 1)\vdots 5$.
Т.е. $(n^2+1)(n+1)(n-1)\vdots 5$ ...?

[Sonic86]

Да, можно так.
Теперь раскрыть скобки надо и применить малую теорему Ферма.
Ну или просто перебрать все остатки по модулю 5.

[Marina]

$(n^2+1)(n+1)(n-1)=n^4-1$. Согласно малой т.Ферма, если $n\not \vdots 5$, то $(n^4-1)\vdots 5$?

[Sonic86]

Ага! Именно так.