Прошу проверить ТФКП

[a239]

Здравствуйте. Зарешал вот первую часть задания на зачет по тфкп на заочном. Вроде, все просто, но как раз поэтому и прошу проверить на наличие глупых ошибок/недописок/недоуточнений.

1) Найти область сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty e^{in}z^n$
$C_n = e^{in}, R = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{C_n}{C_{n+1}}\right| = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{e^{in}}{e^{in}e^i}\right| = e^{-i}$
Ответ: $\sum\limits_{n=1}^\infty e^{in}z^n$ сходится в круге $\left|z\right| < e^{-i}$

2) Разложить $f(z) = \frac{sin^2(z)}{z^2}$ в ряд Лорана в окрестности $z = 0$
$\frac{sin^2(z)}{z^2} = \frac{1}{z^2}\frac{1-cos(2z)}{2} = \frac{1}{2z^2}\left(1-1+\frac{(2z)^2}{2!}-\frac{(2z)^4}{4!}+\frac{(2z)^6}{6!}-...\right) = $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}z^{2n-2}$

3) Найти особые точки $f(z) = \frac{z^2-3z+2}{z^2-2z+1}$ и определить их характер
$f(z) = \frac{\varphi(z)}{\psi(z)} = \frac{(z-1)(z-2)}{(z-1)^2}$
Порядок нуля $z_0 = 1$ для $\psi(z) \ n = 2$
Порядок нуля $z_0 = 1$ для $\varphi(z) \ m = 1$
Ответ: $z_0 = 1$ - полюс 1го порядка

4) Найти вычеты $f(z) = \frac{1-cos(z)}{z^3(z-3)}$ в ее особых точках
$\psi(z) = z^3(z-3)$, $z_{01} = 0:n_1 = 3$, $z_{02} = 3:n_2 = 1$
$\varphi(z) = 1-cos(z)$, $z_{01} = 0:m_1 = 1$, $z_{02} = 3:m_2 = 0$
$z_{01} = 0$ - полюс 2го порядка
$z_{02} = 3$ - полюс 1го порядка

$z_{02} = 3:$ $\varphi(z_{02}) \ne 0, \psi(z_{02}) = 0, \psi'(z_{02}) \ne 0 =>$
$res_{z=3}f(z) = res_{z=3}\frac{\varphi(z)}{\psi(z)} = \frac{\varphi(z_{02})}{\psi'(z_{02})} = \frac{1-cos(3)}{27}$

$z_{01} = 0:$
$res_{z=0}f(z) = \lim\limits_{z \to 0} \frac{d}{dz}\left[z^2f(z)\right] = \lim\limits_{z \to 0} \left[2zf(z)+z^2f'(z)\right] = \lim\limits_{z \to 0} \left[\frac{2(1-cos(z))}{z^2(z-3)}+\frac{sin(z)(z^4-3z^3)-(1-cos(z))(4z^3-9z^2)}{z^4(z-3)^2}\right] = \lim\limits_{z \to 0} \left[2\frac{\frac{z^2}{2!}}{-3z^2}+\frac{-3z^4-(-\frac{9z^4}{2})}{9z^4}\right] = -\frac{1}{6}$

[mitia87]

В первом надо посчитать модуль комплексного числа

[a239]

mitia87
А, тогда $|z| < 1$, понял, спасибо.

[мат-ламер]

А что там происходит на границе круга сходимости - где ряд сходится, а где нет - это требовалось в первом примере?

[ewert]

a239 в сообщении #331276 писал(а):

4) Найти вычеты $f(z) = \frac{1-cos(z)}{z^3(z-3)}$ в ее особых точках
$\psi(z) = z^3(z-3)$, $z_{01} = 0:n_1 = 3$, $z_{02} = 3:n_2 = 1$
$\varphi(z) = 1-cos(z)$, $z_{01} = 0:m_1 = 1$, $z_{02} = 3:m_2 = 0$
$z_{01} = 0$ - полюс 2го порядка

Ответ-то правильный (и даже решение), только вот полюс $z_{01} = 0$ -- все же первого порядка, ибо $m_1 = 2$. Соответственно, и считать вычет гораздо разумнее как просто $\lim\limits_{z \to 0}z\,f(z)$.

[a239]

мат-ламер в сообщении #331652 писал(а):

А что там происходит на границе круга сходимости - где ряд сходится, а где нет - это требовалось в первом примере?

Не требовалось. Но вы тут сказали про это, мне самому интересно стало, решил посмотреть и как-то не нашел, как, собственно, исследовать что происходит на границе? Буду очень благодарен, если ткнете носом в учебник/методичку/материалы в инете на эту тему.

ewert в сообщении #331764 писал(а):

Ответ-то правильный (и даже решение), только вот полюс $z_{01} = 0$ -- все же первого порядка, ибо $m_1 = 2$. Соответственно, и считать вычет гораздо разумнее как просто $\lim\limits_{z \to 0}z\,f(z)$.

Да, действительно, спасибо большое. Теперь буду внимательнее считать порядок нуля )

[мат-ламер]

Цитата:

решил посмотреть и как-то не нашел, как, собственно, исследовать что происходит на границе?

А я теорий насчёт этого не знаю. Простейший способ - берёшь точку на границе ( в данном случае - $e^{i\varphi}$) и подставляешь в ряд, и смотришь, что происходит. В этом примере, вроде, ничего интересного.

[a239]

мат-ламер в сообщении #332635 писал(а):

Простейший способ - берёшь точку на границе ( в данном случае - $e^{i\varphi}$) и подставляешь в ряд, и смотришь, что происходит. В этом примере, вроде, ничего интересного.

А, ну так то понятно. Получается также $R = 1$ для всех $|z|=1$, значит ряд не сходится абсолютно. (А на условную сходимость надо проверять и как?)

[мат-ламер]

a239 в сообщении #332689 писал(а):

мат-ламер в сообщении #332635 писал(а):

Простейший способ - берёшь точку на границе ( в данном случае - $e^{i\varphi}$) и подставляешь в ряд, и смотришь, что происходит. В этом примере, вроде, ничего интересного.

А, ну так то понятно. Получается также $R = 1$ для всех $|z|=1$, значит ряд не сходится абсолютно. (А на условную сходимость надо проверять и как?)

Если сделать подстановку, то получается ряд из чисел, а не функциональный. Поэтому ни о каком $R$ говорить нельзя. А ряд тот не сходится для любого $\varphi$. Следовательно, на окружности нет точек сходимости.