2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Любопытное свойство хар. функций: дифф. в нуле->дифф. везде
Сообщение18.10.2005, 20:42 
Попалось мне такое утверждение : если хар. функция случайной величины дифференцируема в нуле, то она всюду дифференцируема. Попробовал доказать-тупик. Факт это верный, хотя и не упоминается ни в одном учебнике по теории вероятностей из мне встречавшихся.
Возможно, кто-то сможет помочь разрешить эту проблему. Мне советовали обратится к книге Е. Лукача "Характеристические функции", но к сожалению мне ее найти не удалось.

 
 
 
 Re: Любопытное свойство хар. функций
Сообщение19.10.2005, 21:21 
Юстас писал(а):
Попалось мне такое утверждение : если хар. функция случайной величины дифференцируема в нуле, то она всюду дифференцируема. Попробовал доказать-тупик. Факт это верный, хотя и не упоминается ни в одном учебнике по теории вероятностей из мне встречавшихся.
Возможно, кто-то сможет помочь разрешить эту проблему. Мне советовали обратится к книге Е. Лукача "Характеристические функции", но к сожалению мне ее найти не удалось.


1) В приведенной формулировке этот факт НЕВЕРЕН
(см. Й. Стоянов. Контрпримеры в теории вероятностей)

2) Верен такой факт: если существует ЧЕТНАЯ (скажем порядка 2m) производная в нуле, то существует 2m-четный момент и, следовательно, существует 2m-я производная на всей прямой.
(см. А.Н. Ширяев, Вероятность)

 
 
 
 
Сообщение20.10.2005, 15:21 
Уважаемый Преподаватель, не могли бы Вы привести тот самый контрпример из книжки, если имеется к ней доступ, или хотя бы описать примерный алгоритм его построения. Буду очень признателен.

 
 
 
 
Сообщение22.10.2005, 13:09 
Мне удалось построить контрпример в классе дискретных распределений, интересно верно ли это утверждение для абсолютно непрерывных? По крайней мере контрпример здесь построить не так просто.

 
 
 
 Re: Любопытное свойство хар. функций
Сообщение07.11.2006, 13:21 
Преподаватель писал(а):
Юстас писал(а):
Попалось мне такое утверждение : если хар. функция случайной величины дифференцируема в нуле, то она всюду дифференцируема. Попробовал доказать-тупик. Факт это верный, хотя и не упоминается ни в одном учебнике по теории вероятностей из мне встречавшихся.
Возможно, кто-то сможет помочь разрешить эту проблему. Мне советовали обратится к книге Е. Лукача "Характеристические функции", но к сожалению мне ее найти не удалось.


1) В приведенной формулировке этот факт НЕВЕРЕН
(см. Й. Стоянов. Контрпримеры в теории верояностей)

2) Верен такой факт: если существует ЧЕТНАЯ (скажем порядка 2m) производная в нуле, то существует 2m-четный момент и, следовательно, существует 2m-я производная на всей прямой.
(см. А.Н. Ширяев, Вероятность)


в книге Й. Стоянова - "Контрпримеры в теории верояностей" есть примеры, когда существует производная характеристической функции в 0 k-ого порядка, но не существует момент k-ого порядка, но это не означает, что характеристическая функция не будет иметь k-ую производную на всей прямой. Это как раз показывает пример 8.7 из данной книги - случайная величина дискретного распределения не имеющая мат. ожидания, но имеющая всюду дифференцируемую характеристическую функцию.

Юстас писал(а):
Мне удалось построить контрпример в классе дискретных распределений, интересно верно ли это утверждение для абсолютно непрерывных? По крайней мере контрпример здесь построить не так просто.


Возможно вы действительно построили контрпример - не могли бы вы поделиться результатом? Или возможно кто-либо знает ответ на поставленную задачу, так как меня очень заинтересовал этот вопрос, но уже сколько времени я никак не могу найти правильный ответ/прийти к нему. Заранее благодарен за помощь.

 
 
 
 
Сообщение07.11.2006, 13:44 
Это задача из сборника Прохоров/Ушаков. Я тоже одно время этим заинтересовался, и построил контрпример, не возможно, а точно :) Кстати, его просто обобщить на производные более высоких нечетных порядков. Есть статья E.G.Pitman примерно 1955 года, там рассматриваются похожие вопросы, но исследуется только дифференцируемость в нуле. У меня все это лежит в оформленном виде, пишите в ЛС или email.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group