Преподаватель писал(а):
Юстас писал(а):
Попалось мне такое утверждение : если хар. функция случайной величины дифференцируема в нуле, то она всюду дифференцируема. Попробовал доказать-тупик. Факт это верный, хотя и не упоминается ни в одном учебнике по теории вероятностей из мне встречавшихся.
Возможно, кто-то сможет помочь разрешить эту проблему. Мне советовали обратится к книге Е. Лукача "Характеристические функции", но к сожалению мне ее найти не удалось.
1) В приведенной формулировке этот факт НЕВЕРЕН
(см. Й. Стоянов. Контрпримеры в теории верояностей)
2) Верен такой факт: если существует ЧЕТНАЯ (скажем порядка 2m) производная в нуле, то существует 2m-четный момент и, следовательно, существует 2m-я производная на всей прямой.
(см. А.Н. Ширяев, Вероятность)
в книге Й. Стоянова - "Контрпримеры в теории верояностей" есть примеры, когда существует производная характеристической функции в 0 k-ого порядка, но не существует момент k-ого порядка, но это не означает, что характеристическая функция не будет иметь k-ую производную на всей прямой. Это как раз показывает пример 8.7 из данной книги - случайная величина дискретного распределения не имеющая мат. ожидания, но имеющая всюду дифференцируемую характеристическую функцию.
Юстас писал(а):
Мне удалось построить контрпример в классе дискретных распределений, интересно верно ли это утверждение для абсолютно непрерывных? По крайней мере контрпример здесь построить не так просто.
Возможно вы действительно построили контрпример - не могли бы вы поделиться результатом? Или возможно кто-либо знает ответ на поставленную задачу, так как меня очень заинтересовал этот вопрос, но уже сколько времени я никак не могу найти правильный ответ/прийти к нему. Заранее благодарен за помощь.
Кстати, его просто обобщить на производные более высоких нечетных порядков. Есть статья E.G.Pitman примерно 1955 года, там рассматриваются похожие вопросы, но исследуется только дифференцируемость в нуле. У меня все это лежит в оформленном виде, пишите в ЛС или email.