Формула включений и исключений

[Sasha2]

В комбинаторике есть такая формула включений и исключений:
Если у нас имеется $N$ предметов, который могут обладать или не обладать свойствами $a_1, a_2,..., a_n$ То тогда число обектов, не обладающих ни одним из этих свойств может быть вычислено по формуле:
$N(a^{'}_1, a^{'}_2,...,a^{'}_n)=N-N(a_1)-N(a_2)-...N(a_n)+N(a_1,a_2)+...N(a_1,a_n)+...N(a_{n-1},a_n)-N(a_1,a_2,a_3)-N(a_{n-2},a_{n-1},a_n)+(-1)^nN(a_1,a_2,...a_n)$.

Хотелось бы пока просто узнать следующее:
1) Допускает ли данная формула обобщение на случай бесконечного числа объектов (в частности есть ли различия между случаем счетного и несчетного числа объектов).
2) Допускает ли данная формула обобщение на случай бесконечного числа свойств (опять же, имеются ли различия, когда множество свойств счетно и несчетно).
3) Допускает ли данная формула применение, когда множетсов объектов конечно, а множество свойств бемконечно и наоборот.

Пока хотелось бы просто получить просто ответы на эти вопросы и еще, конечно, хотелось бы, чтобы старшие товарищи указали на литературу, где об этом можно почитать.

[maxmatem]

Можно посмотреть в Виленкине "Комбинаторика", там всё расписано и на хороших примерах показано.

[Хорхе]

Можно сказать что ответы на все вопросы положительны: формула верна, если в ней конечное количество ненулевых слагаемых и все они конечны. Но это обман, потому что в данном случае она сводится к конечному результату. Впрочем, ничего лучше не получится. Поэтому и в литературе об этом вряд ли Вы прочитаете.

[Sasha2]

Ну нет, я не это имел в виду.
Под обобщением на бесконечный случай понимается обобщение данной формулы, когда разность рассматривается в смысле разности множеств, а сумма - в смысле их объединения. То есть в данном случае идет речь не о равенстве чисел, а о равенстве множеств.

[Хорхе]

Ничего не понял. Какую именно формулу вы хотите обобщить? Напишите её.

[Sasha2]

Ну а что там писать, замените каждый знак разности (чисел) знаком разности (множеств), а каждый знак суммы (чисел) знаком объединения множеств. Вот и все. Кстати эта же формула будет верна и в конечном случае (то есть формула включений и исключений на самом деле устанавливает тождество между множествами, что в случае конечных множеств влечет за собой равенство их элементов, то есть равномощность).
Вот и для бесконечных множеств хотелось бы узнать верно это или нет, а также и в тех случаях, когда свойств бесконечно.

Ну вообще хотелось бы просто узнать, есть ли литература, где об этом написано.

[Хорхе]

Ага, все-таки то, о чем я подумал.

Давайте все-таки умерим гонор и начнем писать формулу. Пусть универсальное множество (Ваши $N$ предметов) -- $\Omega$.

В левой части дополнение к объединению множеств:
$\Omega\setminus (A_1\cup A_2 \cup\dots \cup A_n)$.

В правой части сначала $\Omega$. Потом вычитаются все множества. Потом приба... Впрочем, давайте остановимся на мгновение и посмотрим, что у нас на этом этапе получилось.

$$ \Omega\setminus (A_1\cup\dots\cup A_n) = \Omega \setminus A_1 \setminus A_2\setminus\dots\setminus A_n $$

(операции в правой части выполняются слева направо).

Нужно ли еще что-то писать? Нет, не нужно. Это уже правильная формула, несомненно. Конечно же, можно еще что-то дописать в правой части, но зачем?

Чувствуете разницу с формулой включения-исключения? Там, если бы Вы остановились на этом шаге, получилась бы неправильная формула. Почему? Потому что некоторые элементы мы посчитаем (вычтем) дважды. Если же мы говорим о множествах, тут все намного проще. Мы просто не можем посчитать элемент более одного раза. Просто сравните: $1=1+1$ и $A=A\cup A$. Первое неправильно, второе правильно.