Сумма цифр.

[Руст]

Пусть S(n) означает сумму цифр натурального числа n. Найти все натуральные числа удовлетворяющие условию:
$S(n)=S(2n)=...=S(n^2), \ (S(mn)=S(n) \ \forallm: 1\le m\le n ).$

[Woland]

Если я правильно понял Вашу задачу, то можно утверждать,что
среди двух значных чисел таких-нет.
Д-во
Т.к. всякое д-х значное число записывается ввиде $A=10a_1+a_2 $ и для него должно выполняется $S(A)=S(A^2) $ то
$A^2=(10a_1+a_2)^2=100a_1^2+20a_1a_2+a_2^2 $ тогда сумма цифр данного
числа равна $a_1^2+2a_1a_2+a_2^2 $ и она равна сумме исходных цифр т.е
$a_1^2+2a_1a_2+a_2^2 $=$a_1+a_2 $
$(a_1+a_2)^2=a_1+a_2 $ откуда имеем два решения:
1)$a_1+a_2=0 $, отсюда $a_1=a_2=0 $
2)$a_1+a_2=1 $, отсюда $a_1=1, a_2=0 $
следовательно существует лишь одно "подозрительное" число это -10, но
$S(10)=1$ а $S(20)=2$ .Следовательно среди 2-х значных таких нет.




Я также доказал и для трёх значных чисел.
После определённых выкладок получается:
$ (a_1+a_2)^2+(a_1+a_2)(2a_3-1)=a_3(1-a_3)$
отсюда видно,что если $a_3>1 $ то уравнение не имеет решений.
Следовательно $a_3=0 $ либо $a_3=1 $ в первом
случае имеем решение $a_1=1, a_2=0, a_3=0 $ во втором решений в
натуральных числах нет. Опять получается лишь одно "подозрительное" число это -100,
и опять $S(10)=1$ а $S(20)=2$ .Следовательно среди 3-х значных таких нет.

P/s
Может нужно найти решение не в десятичной системе?

[Someone]

Woland писал(а):

... $A^2=(10a_1+a_2)^2=100a_1^2+20a_1a_2+a_2^2 $ тогда сумма цифр данного
числа равна $a_1^2+2a_1a_2+a_2^2 $ ...

Это вряд ли.

[Someone]

Woland писал(а):

... $A^2=(10a_1+a_2)^2=100a_1^2+20a_1a_2+a_2^2 $ тогда сумма цифр данного
числа равна $a_1^2+2a_1a_2+a_2^2 $ ...

Это вряд ли. Например, $18^2=324$.

[Woland]

Да, опять запутался, рассмотрел число $100a_1^2+20a_1a_2+a_2^2 $ как запись в десятичной системе.

[Someone]

Как выразить сумму цифр числа $A^2$ через цифры числа $A$, не знаю.

Ясно, что искомое число $A$ должно делиться на $9$, так как иначе у $2A$ будет другая сумма цифр. Очевидно, среди однозначных $9$ годится. Легко видеть, что для любого двузначного числа, делящегося на $9$ и не совпадающего с $99$ (и, следовательно, имеющего сумму цифр $9$), сумма цифр числа $11A$ равна $18$. Поэтому единственный двузначный кандидат - $99$. Очень похоже, что годится.

Гипотеза: искомые числа имеют вид $10^n-1$ для всех $n\geqslant 1$.

[juna]

Да простит меня уважаемый Руст, к тому же уже почти решили - а решение тут http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=103429

[Руст]

Нехорошо выдать ответ раньше времени. Так как я там дал не совсем чёткое решение, дам более простое.
Ясно, что n=1 b n=9 решение. Пусть n>9 и $k=[log_{10}(n)]+1.$ Так как число 10^{k-1} не является решением $S((10^{k-1}+1)n)=S(n+q)-q+S(n), q=[\frac{n}{10^{k-1}}]$. Отсюда S(n+q)=q, где q первая (коэффициент при старшем разряде) цифра. Так как у числа n уже первая цифра q это равенство может выполняться только в случае, когда после добавления q n переходит в следующий разряд, т.е. $n=10^k-a,1\le a\le 9$. Учитывая, что из S(2n)=S(n) вытекает, что число n делится на 9, получаем а=1, т.е.
$n=10^k-1$. Легко проверить, что S(mn)=S(n)=9k для любого 1<=m<=n.

[juna]

Не удержался, простите. Захотелось порешать самому, потом вижу, уже видел, а далее руки работали быстрее головы.