К десятичной записи числа а приписываем чз запятую число в

[kvankam]

Проверьте, пожалуйста, решение задачки. Есть ли решение покороче?

Найти все пары взаимнопростых натуральных чисел $a$ и $b$, таких что если к десятичной записи числа $a$ приписать справа через запятую десятичную запись числа $b$, то получится десятичная запись числа $\frac{b}{a}$

Решение:
1. Из условия имеем $\frac{b}{a}=a+10^{-n}b$, где $n=[\lg{b}]+1$ на единицу больше числа десятичных знаков числа $b$. Отсюда $10^{n}(b-a^2)=ab$. Значит $ab$ делится на $10$. Но если бы $a$ (или $b$) делилось на $10$ то оно должно было бы делиться на $10^n$, а значит быть больше него, что невозможно. Значит, $a$ делится на $2$, а $b$ делится на $5$, или наоборот.
2. $\frac{b}{a}>a$ и $\frac{b}{a}<a+1$, откуда $a^2<b<a^2+a$, или $b=a^2+k$, где $1<k<a$.
3. $\frac{b}{a}=\frac{a^2+k}{a}=a+\frac{k}{a}$, значит $\frac{k}{a}=10^{-n}b$ и $\lg{\frac{k}{a}}=\lg{b}-n=\lg{b}-([\lg{b}]+1)>-1$, откуда $\frac{a}{k}<10$ и $\frac{a}{10}<k<a$.
4. $\frac{k}{a}=10^{-n}b=10^{-n}(a^2+k)$, откуда $k(10^n-a)=a^3$ - все простые делители $k$ делят $a^3$, а значит и $a$. Но $b=a^2+k$, а $b$ и $a$ взаимнопросты, азначит таких делителей нет и $k=1$.
5. Из пункта 3 получаем что $a<10$, а значит по пункту 1 $a$ может быть равен $2;4;5;6;8$. Но при $a=4$ и при $a=6$, $b=a^2+1$ не делится на $5$. Проверкой остальных убеждаемся что походит только $a=2; b=5$.

Зараннее спасибо.

[venco]

То, что $b-a^2=1$ можно определить сразу из пункта 1.
То, что $b$ - в точности степень двойки или пятёрки, следует из конечности дроби.