Площадь области, ограниченной кривыми...

[integral2009]

Да, ясно) Спасибо!!!!! Вот так должно быть))

Найти объем, ограниченный поверхностями

$\left \{ \begin {array}{I} x^2+y^2=6x\\ x^2+y^2=9x\\ z=\sqrt{x^2+y^2}\\ z=0;y=0;y\le 0\\ \end{array} \right$

$\left \{ \begin {array}{I} x=\rho\cos \phi\\ y=\rho\sin \phi\\ z=z\\ \end{array} \right$

$$V=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0}d\phi \int\limits_{6\cos\phi}^{9\cos\phi}\rho d\rho\int\limits_{0}^{\rho}dz=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0}d\phi \int\limits_{6\cos\phi}^{9\cos\phi}\rho \Bigl.z\Bigl|_{z=0}^{z=\rho}d\rho=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0}d\phi \int\limits_{6\cos\phi}^{9\cos\phi}\rho^2 d\rho=\dfrac{1}{3}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \Bigl.\rho^3\Bigl|_{\rho=6\cos\phi}^{\rho=9\cos\phi} d\phi =\dfrac{9^3-6^3}{3}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos^3(\phi) d\phi$$

$$=171\int\limits_{-1}^{0}[(1-sin^2(\phi) ]d(\sin\phi)=\Bigl. \Bigl| \Bigl. sin\phi=t\Bigl|=171(\Bigl. t \Bigl|_{-1}^{0}-\Bigl. \dfrac{t^3}{3} \Bigl|_{-1}^{0})=171(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{171\cdot 2}{3}=114$$

[GAA]

В целом так, но до того как перешли к переменной $t$ заменять пределы интегрирования 0, $-\pi/2$ на 0, $-1$ нельзя.

(Оффтоп)

Возвращаясь к вопросу о рисунке. Обычно я требовал от студентов построить рисунок в «новой» системе координат. В рассматриваемом примере: в системе $\rho, \phi, z$, но в данном случае, думаю, достаточно построить область интегрировангия в переменных $\rho, \phi$. Строить область интегрирования в переменных $x$, $y$ нет смысла, поскольку пределы интегрирования расставляем в новой системе координат, а в ней рисунок проще.