Объём тела

[maxmatem]

надо найти объем.
$x=0$
$y=0$
$x=2$
$y=e^{x}$
вращают около оси $y$
а то знакомый попросил, глянуть а я тройные интегралы уже немного подзабыл, может немного намекнёте?

[meduza]

Не надо тройные, разрежьте тело на слои и одинарным интегралом всё сложите.

[maxmatem]

meduza
Я немного не понял, поясните пожалуйста!

[gris]

А есть же формула для тела вращения. Ну да, через одинарный интеграл и цилиндрические слои. Их надо очень много.

[maxmatem]

$\[ V = \pi \int\limits_0^2 {e^{2x} } dx = \frac{\pi } {2}(e^4 - 1) \]$ так?

[meduza]

Не совсем. Объём элементарного цилиндрического слоя будет $dV=2\pi x\cdot dx \cdot y$ (с точностью до б. м.)

[maxmatem]

а что у меня не так?

[meduza]

Ну если $2x e^x=e^{2x}$, то всё в порядке

[maxmatem]

Да уж.
тогда так $\[ V = 2\pi \int\limits_0^2 {xe^x dx = 2\pi \left( {\left( {xe^x } \right)_0^2 - \left( {e^x } \right)_0^2 } \right)} = 2\pi \left( {e^2 + 1} \right) \] $
так?

[meduza]

да

[maxmatem]

спасибо!

[tikho]

Найти объем тела,заданного ограничивающими его поверхностями y=5\sqrt{x};y=\frac{5x}{3};z=0;z=5+\frac{5\sqrt{x}}{3}.
Проверьте пожалуйста правильно ли я составил тройной интегралV=\iiint dxdydz=\int_{0}^{9} dx\int_{\frac{5x}{3}}^{5\sqrt{x}} dy\int_{0}^{5+\frac{5\sqrt{x}}{3}} dz.
?

[ewert]

да вроде правильно

[tikho]

Спасибо за помощь!