Диофантово уравнение x^2 + y^2 = z^n

[Руст]

Докажите, что при любом натуральном n уравнение
$x^2+y^2=z^n$
имеет бесконечно много взаимно простых решений.

[juna]

Заметим, что достаточно доказать только для нечетных степеней, т.к. если $z^{2k}=x^2+y^2$, то должно выполняться $z^k=p^2+q^2$.
Перечислим необходимые факты:
1. Любое простое число вида $4m+1$ представимо ввиде суммы двух квадратов единственным образом;
2. Верна формула $(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)=(x_1x_2+y_1y_2)^2+(x_1y_2-y_1x_2)^2$
Из второй формулы следует, что произведение любых двух чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, само представимо суммой двух квадратов.
Пусть $p_1$, $p_2$ - простые числа вида $4m+1$, каждое из них представимо суммой двух квадратов, значит и их произведение представимо суммой двух квадратов. Таким образом, получаем, что любое из чисел в следующей цепочке представимо суммой двух квадратов: $p_1$, $p_2$, $p_1p_2$,$p_1^2p_2^2$,$p_1^3p_2^3$...
Поскольку в качестве $p_1$, $p_2$ мы можем брать любые простые указанного вида, а их число бесконечно, то бесконечно и число решений исходного уравнения.

[Руст]

Проще рассматривать это уравнение разлагая на множители в Гауссовых целых числах. Тогда взаимно простые решения получается через a+ib, где (a,b)=1, т.е.
$x+iy=(a+ib)^n,z=a^2+b^2$ или

$$x=\sum_{k=0}^{[n/2]}C_n^{2k}(-1)^ka^{n-2k}b^{2k},y=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]} C_n^{2k+1}(-1)^ka^{n-2k-1}b^{2k+1},z=a^2+b^2$$

Заметим, что это обобщает случай n=2.

[juna]

Я бы сказал - Ваше решение более общее.

[Someone]

Б.А.Кордемский. Математическая смекалка. "Государственное издательство технико-теоретической литературы". Москва, 1957.

Этот метод изложен в задаче 366.

[Руст]

Забыл упомянуть, что a и b должны быть не только взаимно простыми но и разной чётности (как и в случае n=2). Таким образом получаются все взаимно простые решения. Взаимная простота x и у для этого случая доказывается индукцией по n. А все целочисленные решения получаются умножением на c для z и с в степени n/2 для х и у и произвольными изменениями знаков, когда n чётное. Когда n нечётное z можно умножить на с в квадрате x и y на c в степени n и произвольно менять знаки у х и у.