Ряд Фурье

[Nogin Anton]

Нужно разложить функцию $\begin{cases} -1;-1\le x<0 \\ 1; 0\le x\le 2 \end{cases}$

Период $T=3$; Частота $\frac{2\pi}{3}$

$a_0=-\frac23 \int_{-1}^0dx+\frac23 \int_0^2 dx=-\frac23+\frac43=\frac23$

$a_n=-\frac23 \int_{-1}^0\cos{\frac{2\pi n}{3}x}dx+\frac23\int_0^2 \cos{\frac{2\pi n}{3}x}dx=\frac{1}{\pi n}[\sin{\frac{2\pi n}{3}x}|_0^2-\sin{\frac{2\pi n}{3}x}|_{-1}^0]=$

$=\frac{1}{\pi n}[\sin{\frac{4\pi n}{3}}+\sin \frac{2\pi n}{3}}]$

$b_n=-\frac23\int_{-1}^0 \sin{\frac{2\pi n}{3}x}dx+\frac23 \int_0^2 \sin{\frac{2\pi n}{3}x}dx=\frac{1}{\pi n}[1-\cos{\frac{2\pi n}{3}}-{\frac{4\pi n}{3}}+1]=$ $=\frac{1}{\pi n}[2-\cos{\frac{2\pi n}{3}}-{\frac{4\pi n}{3}}]$

Я верно разложил?

$f(x)=\frac13 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\pi n}[\sin{\frac{4\pi n}{3}}+\sin \frac{2\pi n}{3}}]\cdot \cos{\frac{2\pi n}{3}x}+\frac{1}{\pi n}[2-\cos{\frac{2\pi n}{3}}-{\frac{4\pi n}{3}}]\cdot $ $\cdot \sin \frac{2\pi n}{3}x}$

[AKM]

Nogin Anton,

я в Фурьях не особо, но людям, которые уже, вероятно, проверяют Ваши интегралы, будет гораздо приятнее, ежели Вы будете писать \cos x, \sin x (с палочкой; и \ln x). Даже если Вы не почувствуете разницу (а Вы ещё можете поправить своё сообщение), они, которые решают, её сильно чувствуют. Уверяю Вас. И Вы тоже, наверное, заметите что-то неуловимое:

$\sin x,\quad sin x$

[Nogin Anton]

Подправил

Буду иметь в виду!

[Nogin Anton]

А если требуется найти первые три члена ряда, то нужно вместо n поочереди подставить 1,2,3 и всё просуммировать?

При n=1 под знаком суммы получается так

$\frac{1}{\pi}(\sin{\frac{4\pi x}{3}}-\sin{\frac{2\pi x}{3}})\cdot \cos{\frac{2\pi x}{3}}+\frac{1}{\pi}(2-\cos{\frac{2\pi x}{3}}-cos{\frac{4\pi x}{3}})\cdot \sin{\frac{2\pi x}{3}}$

Но наверное так не должно быть...

[ИСН]

Не должно и не получается. Внимательно следите за размножением буковки x.

[Nogin Anton]

Подправил...

$f(x)=\frac13 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\pi n}[\sin{\frac{4\pi n}{3}}-\sin \frac{2\pi n}{3}}]\cdot \cos{\frac{2\pi n}{3}x}+\frac{1}{\pi n}[2-\cos{\frac{2\pi n}{3}}-\cos{\frac{4\pi n}{3}}] \cdot \sin \frac{2\pi n}{3}x$

[AKM]

Nogin Anton в сообщении #329192 писал(а):

Я верно разложил?

$$f(x)=\frac13 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\pi n}[\sin{\frac{4\pi n}{3}}+\sin \frac{2\pi n}{3}}]\cdot \cos{\frac{2\pi n}{3}x}+\frac{1}{\pi n}[2-\cos{\frac{2\pi n}{3}}-{\frac{4\pi n}{3}}]\cdot \sin \frac{2\pi n}{3}x}$$

Потом

Nogin Anton в сообщении #329689 писал(а):

При $n=1$ под знаком суммы получается так

$\frac{1}{\pi}(\sin{\frac{4\pi x}{3}}-\sin{\frac{2\pi x}{3}})\cdot \cos{\frac{2\pi x}{3}}+\frac{1}{\pi}(2-\cos{\frac{2\pi x}{3}}-cos{\frac{4\pi x}{3}})\cdot \sin{\frac{2\pi x}{3}}$
Но наверное так не должно быть...

ИСН кагбе намекнул, что Вы неправильно подставили $n=1$. У Вас иксы вместо этого размножились.

В ответ Вы привели новую формулу для $f(x)$:

Nogin Anton в сообщении #329703 писал(а):

Подправил...

$$f(x)=\frac13 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\pi n}[\sin{\frac{4\pi n}{3}}-\sin \frac{2\pi n}{3}}]\cdot \cos{\frac{2\pi n}{3}x}+\frac{1}{\pi n}[2-\cos{\frac{2\pi n}{3}}-\cos{\frac{4\pi n}{3}}] \cdot \sin \frac{2\pi n}{3}x$$

Не знаю, пардон, какая из них правильная, но теперь подставляйте $n=1$ сюда. И не повторяйте ту же ошибку.

Над разностью $[\sin{\frac{4\pi n}{3}}-\sin \frac{2\pi n}{3}}]$, думаю, надо отдельно поработать.

[Nogin Anton]

Большое спасибо!

-- Чт июн 10, 2010 19:03:07 --

Преобразовал маленько саму окончательную функцию, если не ошибаюсь, то второе слагаемое в ноль уходит.

$f(x)\approx \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi n}[2\cdot \sin{\frac{\pi n}{3}}\cdot \cos{\pi n}\cdot \cos{\frac{2\pi nx}{3}}]+\frac{1}{\pi n}\cdot [2-2\cos{\pi n}\cdot \cos{\frac{\pi n}{3}]\cdot \sin{\frac{2\pi nx}{3}}]=$

$=\frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi n}[2\cdot \sin{\frac{\pi n}{3}}\cdot (-1)^n\cdot \cos{\frac{2\pi nx}{3}}]+\frac{1}{\pi n}\cdot [2-2(-1)^n\cdot \cos{\frac{\pi n}{3}]\cdot \sin{\frac{2\pi nx}{3}}$

-- Чт июн 10, 2010 19:34:05 --

Первый член ряда - это $a_0$? то есть в данном случае $\frac13$

Второй будет при $n=1$, то есть

$-\frac{2}{\pi}\cdot \sin{\frac{\pi}{3}}\cdot \cos{\frac{2\pi x}{3}}+\frac{1}{\pi}[2+2\cdot \cos{\frac{\pi}{3}}]\cdot \sin{2\pi x}{3}=\frac{1}{\pi}[2+\sqrt3]\cdot \sin{\frac{2\pi x}{3}}-\frac{1}{\pi}\cdot \cos{\frac{2\pi x}{3}}$???