преобразование дифуров

[aido]

как показать, что вид уравнения d^2(z)/dx^2*d^2(z)/dy^2 - (d^2(z)/dxdy)^2=0
не меняется при перемене ролей между x,y,z?

я пробовал делать так: z(x,y(x,z)), но правильно продифференцировать не могу((

[мат-ламер]

В исходном уравнении поменяйте знак $x$ на $y$ и наоборот. Покажите, что получилось то же самое уравнение.

[gris]

вид уравнения лучше вначале изменить хотя бы (имеюся в виду d) так:
$\dfrac {d^2z}{dx^2}\cdot \dfrac {d^2z}{dy^2} - \left(\dfrac {d^2z}{dxdy}\right)^2=0$

[math]$\dfrac {d^2z}{dx^2}\cdot \dfrac {d^2z}{dy^2} - \left(\dfrac {d^2z}{dxdy}\right)^2=0$[/math]

[мат-ламер]

А, Вам ещё и $z$ нужно? Это чуть посложней. Выразите производную $dz/dx$ через $dx/dz$ ... Затем перейдите к вторым производным.

[aido]

вот переход ко вторым производным для меня пока затруднителен...

[Padawan]

Padawan в сообщении #322393 писал(а):

$dz_x=z_{xx}dx+z_{xy}dy$. Подставляем сюда $z_x=\dfrac1{x_z}$

$$ -\frac{1}{x_z^2}(x_{yz}dy+x_{zz}dz)=z_{xx}(x_ydy+x_zdz)+z_{xy}dy $$

Дальше приравниваем коэффициенты при $dy$ и $dz$ - это теперь независимые переменные.
Посмотрите в Демидовиче раздел "Замена переменных" (стр. 348).

[мат-ламер]

У меня тут получилось $\dfrac{d^2z}{dx^2}=-\dfrac{d^2x}{dz^2}{(\dfrac{dx}{dz})}^{-3}$. Но это ещё буду проверять.

[Padawan]

(Оффтоп)

А что, круглые частные производные $\partial$ уже не в моде?

[ИСН]

В сущности, это ведь что такое: поверхность с нулевой гауссовой кривизной. Поставь её хоть вверх ногами, хоть на бок - это всё равно будет поверхность с нулевой гауссовой кривизной.

[aido]

в сущности да... но нужно это строго математичеки показать

[мат-ламер]

Допустим переходим к новым переменным. Пусть $x$ будет зависеть от $z$ и$y$. Тогда $\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}=\left(\dfrac{\partial x}{\partial z} \right)^{-2} \left[\dfrac{\partial^2x}{\partial y \partial z} \left(\dfrac{\partial x}{\partial y} \right)^{-1}+\dfrac{\partial ^2x}{\partial z^2} \left(\dfrac{\partial x}{\partial z} \right)^{-1} \right]$. aido, не сдавайтесь.

[aido]

я пробовал решать, находя полный второй дифференциал. все вроде клеится , но в самом конце вылезает совсем ненужное слагаемое... а так - там все выражения производных получаются не в виде сумм... но всю картину портит $\dfrac{d^2x}{dy^2}$

[мат-ламер]

Возможно Вам поможет курс Фихтенгольца (первый том, глава 6, параграф 4. Замена переменных).