вопрос по диффурам(однородность)

[patriarch]

у меня вопрос:как определять однородность у диффур?я прочел теорию в ФИлиппове но ничего не понял, может ли ктонибудь обьяснить более понятно?

[ewert]

Вариант 1. ДУ 1-го порядка называется однородным, если его правая часть однородна, т.е. зависит только от отношения игрека к иксу. Или, что то же, если $f(x,y)=f(tx,ty)\ (\forall t)$.

Что хоть и общепринято, но весьма нехорошо, ибо

Вариант 2. Линейное ДУ называется однородным, если его правая часть равна нулю.

Что гораздо более принципиально.

А какая тут может быть ещё и теория -- не знаю.

[Padawan]

Еще есть случай понижения порядка: однородность по $y$ и всем его производным. $F(x,y,y',\ldots,y^{(n)})=0$, где $F(x,ty,\ldots,ty^{(n)})=t^\mu\cdot F(x,y,y',\ldots,y^{(n)})$.

[patriarch]

я как раз про версию Padawan и говорил, просто я не понимаю как определить однородно ли уравнение.

[ИСН]

А как степень многочлена определить (глядя на многочлен), Вы понимаете?

[Padawan]

patriarch
В случае многочлена -- как говорит ИСН, а в общем случае -- по той формуле, которую я написал. Надо посмотреть, верна ли она для некоторого $\mu$ -- это степень однородности. Давайте конкретный пример разберём, который Вам не понятен.

-- Пн июн 07, 2010 15:08:17 --

Главное тут вот что: если мы в уравнение вместо $y$ подставим $ky$, где $k=\mathrm{const}$, то уравнение сохранит свой вид. Эта инвариантность и позволяет понизить порядок.

Кстати, однородные линейные уравнение - это однородные уравнения степени $\mu=1$, и у них всегда можно понизить порядок. Только в результате получится нелинейное уравнение, что нехорошо. А вот если известно частное решение, то можно понизить порядок без потери линейности.

[patriarch]

Padawan
ну хорошо скажем любой номер из Филиппова 463-480.Почему данные уравнения однородны?
ИСНда понимаю, по старшей степени у старшего члеена

[Padawan]

patriarch
Выпишите сюда какой-нибудь номер из Филлипова.

[patriarch]

$xyy''+x(y')^2 =2yy', $