Аннигиляторы для рекуррентных уравнений

[ShMaxG]

Есть такая статейка: http://www.google.ru/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBUQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.cs.uiuc.edu%2Fclass%2Fsp07%2Fcs473g%2Flectures%2Fx00-recurrences.pdf&ei=QQcJTITjL5mjOIGwkN8P&usg=AFQjCNH8_nDg0-DcqVvMhxz2uepvZw4B5w&sig2=-xzv3Tc6-cHC5CHXI6ajbw в которой описывается метод решения рекуррентных уравнений.

То ли я чего не понимаю, то ли авторы чего не усмотрели, но никак не могу понять следующую вещь.

Цитата:

In general, for any integers $\[a \ne b\]$, the operator $\[\left( {{\text{E}} - a} \right)\left( {{\text{E}} - b} \right)\]$ annihilates any sequence of the form $\[\left\langle {{c_1}{a^i} + {c_2}{b^i}} \right\rangle \]$ but nothing else.

Как это, nothing else? Вот такую тоже аннигилирует: $\[\left\langle {0,a,{a^2} + ab,{a^3} + {a^2}b + a{b^2},...} \right\rangle \] $.

Вообще, я получил следующий результат:

$\[\begin{gathered} \left( {E - a} \right)\left( {E - b} \right){c_i} = 0 \hfill \\ {c_{i + 1}} = {b^i}{c_1} + {d_1}\sum\limits_{k = 0}^{i - 1} {{b^k}{a^{i - k}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Здесь $c_1$ и $d_1$ - произвольные константы.

То ли такой вид всегда можно представить в виде суммы степеней $a$ и $b$, то ли еще чего. Не понимаю.

-- Пт июн 04, 2010 18:43:17 --

Я разобрался. Действительно, можно представить в виде $\[{b^i}{c_1} + {d_1}\sum\limits_{k = 0}^{i - 1} {{b^k}{a^{i - k}}} = {C_1}{b^{i + 1}} + {D_1}{a^{i + 1}}\]$. В этом случае необходимо и достаточно $\[{d_1} = {D_1}\left( {a - b} \right)\]$, $\[{C_1} = \frac{{{c_1}}} {b}\]$.