Энергия затухающих колебаний

[0x21h]

Задача:


Колебательная система (КС), представленная на рис. 11, состоит из шайбы массой $m$ и двух упругих пружин, имеющих жесткости $k_1$ и $k_2$ . Колебания происходят под действием пружин, соединенных последовательно. Массой пружин можно пренебречь. КС имеет горизонтальное расположение в поле силы тяжести. $l_{10}$ и $l_{20}$ – длины 1-ой и 2-ой пружин в недеформированных состояниях; $L$ — общая длина двух пружин в деформированном состоянии; $V_1$, $V_2$ -- возможные векторы начальной скорости шайбы. Шайбу, находящуюся в положении равновесия, смещают до расстояния $L$, а затем импульсом придают ей в начальный момент времени $t = 0$, в соответствии с заданием, скорость $V_2$, при этом $V_1 = 0$. В результате КС приходит в колебательное движение.

Требуется найти:

1. Вывести дифференциальное уравнение малых свободных затухающих колебаний, если сила сопротивления движению КС пропорциональна скорости, т.е. , где r - коэффициент сопротивления.
2. Определить, используя начальные условия задачи и исходные данные, начальные амплитуду $A_0$ и фазу $\phi_0$ колебаний.
3. Написать с учетом найденных значений уравнение колебаний.

Вот, что получилось у меня:

Заменяем две пружины на одну, эквивалентную:
$k = \frac{k_1 + k_2}{k_1k_2}$

1) По второму закону Ньютона (в проекции на $Ox$):

$ \begin{cases} F_{sopr.} + F_{upr.} = ma_x\\ \abs{a_x} = a = x^{''}\\ F_{sopr.} = -rV\\ F_{upr.} = kx \end{cases} $$\rightarrow (zV_x +kx = ma_x) \rightarrow (rx^{'} + kx = mx^{''}) \rightarrow (x^{''} +\frac{r}{m}x^{'} + \frac{k}{m}x = 0)$$ $
Теперь положим, что $r = 0 (F_{sopr.} = 0)$. Тогда:

$$x^{''} + \frac{k}{m}x = 0$$

2) И вот тут начинается самое интересное. Я использую следующую формулу:

$$\frac{kA_0^2}{2} = \frac{kx^2_0}{2} + \frac{mV_2^2}{2}$$

взятую в неявном виде из книги И.В. Савельева "Курс общей физики. Том 1", где:
$A_0$ - амплитуда колебаний
$x = (l_{10} + l_{20}) - L$ - смещение относительно равновесного состояния

Преподаватель спрашивает: Что это?
Я отвечаю: это закон сохранения энергии, $E_p = E_{p1} + E_k$
Преподаватель спрашивает: Закон сохранения... А где эффект затухания?
Я честно признаюсь, что списал с учебника. На что мне отвечают, что формула верна ( ), но я должен ее объяснить.

Собственно вопросы:
1) Есть ли где-то ошибки??
2) Эта формула верна?? Подходит ли она для этой задачи??
3) (если формула верна) Откуда была выведена эта формула?? Что она означает?? Где там наблюдается затухание??

[PapaKarlo]

0x21h в сообщении #327615 писал(а):

сила сопротивления движению КС пропорциональна скорости, т.е. , где r - коэффициент сопротивления.

Формула пропущена; будем считать, что это она: $\vec F_{sopr.} = -r\vec V$

Это выражение $(zV_x +kx = ma_x) \rightarrow (rx^{'} + kx = mx^{''})$ как Вы получили? И что такое $z$?

0x21h в сообщении #327615 писал(а):

Преподаватель спрашивает: Закон сохранения... А где эффект затухания?

Порассуждайте, из-за чего возникает затухание колебаний? Какая сила препятствует бесконечному колебанию идеализированной системы? Математическое выражение для этой силы у Вас есть - взгляните на него и на ход решения, и сразу будет видно, почему исчез эффект затухания, описанный в условии задачи.

0x21h в сообщении #327615 писал(а):

Я использую следующую формулу:

$$\frac{kA_0^2}{2} = \frac{kx^2_0}{2} + \frac{mV_2^2}{2}$$

взятую в неявном виде из книги И.В. Савельева "Курс общей физики. Том 1", где:
$A_0$ - амплитуда колебаний
$x = (l_{10} + l_{20}) - L$ - смещение относительно равновесного состояния
...
2) Эта формула верна?? Подходит ли она для этой задачи??
3) (если формула верна) Откуда была выведена эта формула?? Что она означает?? Где там наблюдается затухание?

Формула верна для случая колебаний без затухания. Поэтому если Вы хотите решить задачу в указанной Вами постановке (затухание имеется), то формула не подходит уже по формальным признакам.

Выведена формула из закона сохранения энергии для механического движения. Смысл закона: полная энергия замкнутой системы не меняется со временем (а что это за полная энергия, надо Вам почитать). Таким образом, если мы описываем движение, т.е. зависимость некоторой координаты от времени, то для разных значений этой координаты (соответственно, для разных моментов времени) значение полной энергии одно и то же.

Применительно к формуле из Савельева: в левой части указана энергия для конкретной, характерной для колебательных процессов точке; в правой - для произвольной точки (для произвольного отклонения $x$ колебательной системы от нейтрального положения $x=0$), в том числе и для точки $x=x_0$, в которой скорость шайбы $v=V_2$. Смысл слагаемых в правой части Вам надо выяснить, тогда смысл выражения в левой части будет очевиден; обратите внимание на то, что в левой части одно слагаемое отсутствует, и разберитесь, почему. А причина равенства описана в предыдущем абзаце.

Для системы с затуханием (обычная причина - трение) эта формула не подходит, поскольку не учитывает, что в полную энергию системы входит увеличивающася вследствие трения тепловая энергия. Т.е. Вам следует пользоваться лишь динамическими уравнениями, на что и намекает задание: составить дифференциальное уравнение.

Когда Вы получите общее решение, оно будет содержать некие неопределенные константы. Их можно получить, исходя из начальных условий, данных в задаче.

И последнее: коль Вы оперируете в решении величиной $x$, т.е. некоторой координатой, Вам просто необходима координатная система с указанием точки отсчета ($x=0$) и положительного направления. Начните с добавления этих элементов в рисунок и подумайте, как надо выбрать точку $x=0$, чтобы соблюдалось уравнение $F_{upr.} = kx$.

(Оффтоп)

0x21h - избыточно; в зависимости от языка либо 0x21, либо 21h

[0x21h]

PapaKarlo в сообщении #327774 писал(а):

Формула пропущена; будем считать, что это она: $\vec F_{sopr.} = -r\vec V$

Принято, спасибо

PapaKarlo в сообщении #327774 писал(а):

Это выражение $(zV_x +kx = ma_x) \rightarrow (rx^{'} + kx = mx^{''})$ как Вы получили? И что такое $z$?

$z$ моя опечатка, должно быть $r$; спасибо, поправлю.
Формуму вывел используя, что $V_x = x^{'}$ и $a_x = x^{''}$, где $x^{'}$ и $x^{''}$ - первая и вторая производные по времени соответственно.

PapaKarlo в сообщении #327774 писал(а):

Порассуждайте, из-за чего возникает затухание колебаний? Какая сила препятствует бесконечному колебанию идеализированной системы?

Согласно закону сохранения энергии, колебательное движение системы, удовлетворяющее уравнению $E = T + U_{vz} = const)$ будет происходить неограниченно долгое время. Примером этому может послужить гармонический осциллятор, чье значение энергии постоянно и численно равно $E = \frac{kA^2}{2}$.

В соответствии с этим, для того, чтобы энергия через некоторое время стала равной нулю, необходимо чтобы нарушилось условие закона сохранения энергии, т.е. происходило ее приращение/убыль: $E_2 - E_1 = \Delta E = A_{12}$ - работу в нашем случае совершают силы сопротивления силы сопротивления $\\ A_{12} = F_{sopr.} \cdot \Delta x$Так?

PapaKarlo в сообщении #327774 писал(а):

Смысл слагаемых в правой части Вам надо выяснить, тогда смысл выражения в левой части будет очевиден; обратите внимание на то, что в левой части одно слагаемое отсутствует, и разберитесь, почему.

Попробую.
$\frac{mV^2_2}{2}$ - кинетическая энергия груза, которая полностью перейдет впоследствии в потенциальную энергию упругой деформации (та, которая стоит в левой части уравнения)
$\frac{kx_0^2}{2}$ - вероятнее всего, это тоже потенциальная энергия деформации, но уже сжатой пружины.

Да, Вы правы - явное указание на явление затухания здесь отсутствует.

PapaKarlo в сообщении #327774 писал(а):

составить дифференциальное уравнение

С радостью. Наше дифференциальное уравнение имеет вид:

$$x^{''} + 2\beta x^{'} + \omega ^2_0 x = 0, $$

$\newline 2\beta = r/m \newline \omega ^2_0 = k/m$.
Составим характеристическое уравнение:

$$\lambda ^2 + \frac {r}{m}\lambda + \frac {k}{m} = 0$$

. Пусть теперь $ \zeta = \frac{r}{2 \sqrt{km}}$ и $\omega _0 =\sqrt{k/m}$ Тогда:

$$\lambda ^2 + 2\omega_0^2\zeta\lambda + \omega_0 = 0$$

Находим корни:

$$\lambda = \omega_0 \cdot \sqrt{\zeta^2 - 1}$$

Идем дальше... У меня $\zeta < 1$(даны некоторые числовые данные, здесь я их не привел) - соответственно слабое затухание. Иными словами $\lambda$ - комплексные корни.

$$\lambda_{1,2} = -\zeta\omega_0 \pm i \cdot \omega_0 \sqrt{\zeta^2 - 1}$$

Общее решение выглядит вот так:

$$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos{\beta x} + C_2 \sin{\beta x} )$$

В моем случае как-то так:

$$e^{-\zeta \omega_0}(C_1 \cos{(\omega_0 \sqrt{\zeta^2 - 1})} + C_2 \sin{(\omega_0 \sqrt{\zeta^2 - 1})} )$$

Уф... Дело за малым. Теперь рассчитаем $C_1$ и $C_2$:

$$\begin{cases} x(0) = e^{-\zeta \omega_0}(C_1 \cos{(\omega_0 \sqrt{\zeta^2 - 1})} + C_2 \sin{(\omega_0 \sqrt{\zeta^2 - 1})) \\ x^{'}(0) = \zeta \omega_0 \cdot e^{-\zeta \omega_0}(C_1 \cos{(\omega_0 \sqrt{\zeta^2 - 1})} + C_2 \sin{(\omega_0 \sqrt{\zeta^2 - 1})) + e^{-\zeta \omega_0} \cdot \omega_0 \sqrt{\zeta^2 -1} (C_1 \cos{(\omega_0 \sqrt{\zeta^2 - 1})} + C_2 \sin{(\omega_0 \sqrt{\zeta^2 - 1})) \end{cases}$$

Решить такую систему - помилуйте!
Где и что не так??

P.S.
Моя картинка:

(Оффтоп)

Старая привычка дважды явно указывать систему счисления.
К тому же можно написать 0x21h и так:
$21_{16}$
$21_{hex}$
$21
16#21#
021h
И наверное еще как-нибудь

[PapaKarlo]

0x21h в сообщении #327825 писал(а):

Где и что не так??

Путь решения правильный. Вы запутались в обозначениях; есть просто ошибки подстановок (например, характеристическое уравнение должно выглядеть в Ваших обозначениях так: $\lambda ^2 + 2\omega_0\zeta\lambda + \omega_0^2 = 0$). Попробуйте перерешать диф.уравнение с нуля, "забыв" о старых обозначениях. Да, и уж если Вам удобнее "плясать" от обозначений в учебнике математики, обозначьте и в задаче пространственную координату через $y$, а время через $x$, чтобы не путаться, где функция, а где аргумент. Хотя лучше все же использовать "физические" обозначения из дифура $x^{''} + 2\beta x^{'} + \omega ^2_0 x = 0$ и искать решение уравнения как функцию $x=x(t)$, а не как $y=y(x)$.

И не забывайте, что параметры системы и множители в общем решении дифура имеют вполне определенный физический смысл. Это поможет Вам вчерне проконтроллировать правильность решения. В общем решении:

$$x(t) = e^{\alpha t}(C_1 \cos{\omega t} + C_2 \sin{\omega t} )$$

первый сомножитель есть уменьшающаяся с ростом времени экспонента, т.е. он описывает именно затухание, потому должен быть зависим от $r$, а второй множитель - периодическая функция, т.е. он описывает колебания, и потому должен зависеть от $\omega_0$, т.е. от соотношения жесткости пружин и массы шайбы (но может также зависеть и от $r$, что означает смещение резонансной частоты системы при наличии затухания). У Вас же аргумент синуса/косинуса содержит имеющий смысл частоты сомножитель $\beta$, и если это то же самое, что и принятое Вами ранее обозначение $\beta=\frac{r}{2m}$, то с физической точки зрения явно неверно. Хотя скорее всего это просто путаница в обозначениях, когда Вы одной и той же буквой обозначаете разные величины.

Понимание физической сути даже без знания деталей, существенных для конкретной задачи, очень полезно для самопроверки.

К рисунку - чисто техническое замечание. Шайбу Вы рассматриваете, как материальную точку, т.е. ее размеры несущественны. Раз Вы уж нарисовали ее с конечной толщиной, отмеряйте координаты всегда до одной и той же точки - например, от одного и того же края, или от условного центра. А так у Вас силы приложены к центру, а расстояния на разных рисунков отсчитываются до разных краев. Хотя, конечно, на решение задачи это не повлияет, но аккуратность в рисунке не помешает - полезная привычка.

[0x21h]

PapaKarlo в сообщении #328107 писал(а):

Вы запутались в обозначениях; есть просто ошибки подстановок (например, характеристическое уравнение должно выглядеть в Ваших обозначениях так: $\lambda ^2 + 2\omega_0\zeta\lambda + \omega_0^2 = 0$).

Согласен с Вами. Действительно, невнимательно отношусь к обозначениям, за что и страдаю.

PapaKarlo в сообщении #328107 писал(а):

Попробуйте перерешать диф.уравнение с нуля, "забыв" о старых обозначениях.

Хорошо, в таком случае, думаю не лишним будет освежить некоторые обозначения и впоследствии их придерживаться:

$\beta = \frac{r}{m}$
$\omega^2_0 = \frac{k}{m}$

Еще раз напомню, как выглядит дифф. уравнение в этих обозначениях:

$$\ddot x + 2\beta \dot x + \omega^2_0 x = 0$$

Используя подстановку $x = e^{\lambda t}$ приходим к следующему характеристическому уравнению:

$$\lambda^2 + 2\beta \lambda + \omega^2_0 = 0$$

Его корни:

$$\lambda_1 = -\beta + \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}$$$$\lambda_2 = -\beta - \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}$$

Делаем замену $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$ (я пользуюсь обозначениями Савельева)
Тогда корни примят вид:

$$\lambda_{1,2} = -\beta \pm i\omega$$

Тогда общим решением дифф. уравнения будет:

$$e^{-\beta t}(C_1 e^{i\omega t} + C_2 e^{-i\omega t})$$

Упростим с помощью:

$$C_1 = \frac{A_0}{2}e^{i\phi_0}, C_1 = \frac{A_0}{2}e^{-i\phi_0},$$

и зная, что:

$$\cos{\phi_0} = \frac{e^{i\phi_0} + e^{-i\phi_0}}{2}$$

(Оффтоп)

Взято у Савельева

Получим:

$$x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos{(\omega t + \phi_0)}$$

(Оффтоп)

где $\omega$ -

PapaKarlo в сообщении #328107 писал(а):

смещение резонансной частоты системы при наличии затухания

Хорошо. И вот тут я снова возвращаюсь к главному вопросу темы:

0x21h в сообщении #327615 писал(а):

...
2. Определить, используя начальные условия задачи и исходные данные, начальные амплитуду $A_0$ и фазу $\phi_0$ колебаний.
3. Написать с учетом найденных значений уравнение колебаний.

Процесс поиска видится мне как решение задачи Коши:
$x(0) = (l_{10} + l_{20}) - L = 0,01$ и $\dot x(0) = V(0) = V_2 = 0,02$. Тогда:

$$0,01 = A_0 e^{-\beta t} \cos{(\omega t + \phi_0)}$$

$$0,02 = \frac{d}{dt}(A_0 e^{-\beta t} \cos{(\omega t + \phi_0)})$$

Решение:

$$\begin{cases} 0,01 = A_0 e^{-\beta \cdot 0} \cos{(\omega \cdot 0 + \phi_0)} \\ 0,02 = - A_0 \beta e^{-\beta 0} \cos{(\omega \cdot 0 + \phi_0)} - A_0 \omega e^{-\beta \cdot 0} \sin{(\omega \cdot 0 + \phi_0)} \end{cases}$$

$$\begin{cases} 0,01 = A_0 e^{-\beta \cdot 0} \cos{(\omega \cdot 0 + \phi_0)} \\ 0,02 = - A_0 e^{-\beta \cdot 0} \cdot ( \beta\cos{(\omega \cdot 0 + \phi_0)} - \omega \sin{(\omega \cdot 0 + \phi_0))} \end{cases}$$

$$\begin{cases} 0,01 = A_0 \cos{(\phi_0)} \\ 0,02 = - A_0 \cdot ( \beta\cos{(\phi_0)} - \omega \sin{(\phi_0))} \end{cases}$$

У меня дано: $\beta = 0,125$ и $\omega = 0,39$. Тогда:

$$\phi_0 = \arcsin{(-0,8(3))} \approx -4,780$$

$$A_0 \approx 0,01(01) $$

Уравнение колебаний:

$$x(t) = 0,1 \cdot e^{-0,125 t} \cos{(0,39 t - 4,780)}$$

Жду Ваших ответов. Особенно интересуют указания на ошибки.

[ГАЗ-67]

0x21h в сообщении #327615 писал(а):

Заменяем две пружины на одну, эквивалентную:

По-моему должно быть так :

$k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$

[0x21h]

ГАЗ-67 в сообщении #328550 писал(а):

0x21h в сообщении #327615 писал(а):

Заменяем две пружины на одну, эквивалентную:

По-моему должно быть так :

$k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$

Принимается, спасибо.