Нахождение дробно линейного отображения

[coper]

Задача: Выяснить во что преобразуется облать $D:{ |Z|<1, Im(Z)>0}$ при отображении $w=\frac{1-z}{1+z}$. Почти сделал, но немогу обосновать самый конец.
И так. Нижняя граница области перейдет в правую часть вещественной оси т.к, если z пробегает от 1 до -1, то w пробегает от $\infty$ до 0.
А единичная окружность перейдет в прямую, совпадающую с мнимой осью, т.к $z=1$ переходит в $z=0$,
$z=i$ переходит в $-i$ $z=-i $в $i$; эти точки лежат на одной прямой.
Осталось обосновать что часть этой окружности, где $Im(Z)>0$ переходит в нижнюю часть прямой. С этим возникли затруднения. Надеюсь на помощь.

[Полосин]

Во-первых, $z=0$ перейдет в $w=1$. Во-вторых, воспользуйтесь принципом соответствия границ: если вы движетесь по границе области в плоскости $z$ так, что область остается слева, то соответствующее движение в плоскости $w$ также оставит искомую область слева.