Решить матричное уравнение AX=XA

[kirbi]

Здравствуйте.

Такая задача. Решить матричное уравнение $AX=XA$, где $ A = \left( \begin{array}{с с} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right ) $

Я записал матрицу X как $ \left( \begin{array}{с с} x_1 & x_2\\ x_3 & x_4 \end{array} \right ) $, перемножил матрицы слева и справа, в итоге у меня получилась система из трёх уравнений (1 и 4 вышли одинаковыми).

$ \left\{ \begin{array}{l} 2 x_1 = 3 x_2,\\ 3x_1 + 3x_3 = 3x_4, \\ 3x_2 + 2 x_1 = 2x_4 \end{array} \right. $

теперь у меня загвоздка с тем, что делать дальше? Выходит система недоопределена? Как найти из трёх уравнений четыре неизвестных?

[gris]

В первом там нет ошибочки? Вроде бы видно $2x_3=3x_2$
Ну и что? Будет много решений. Тут можно попробовать не решать систему через матрицу, а сразу обозначить $x_3=a$, то есть объявить наугад свободную переменную и через неё выразить остальные. Получим кучу матриц, перестановочных с $A$.

[Ales]

Вам надо найти коммутирующую матрицу.
Можно привести матрицу $A$ к диагональному виду преобразованием $T^{-1}AT$.
Тогда $T^{-1}XT$ тоже будет диагональная, иначе не будет коммутировать.
Значит всего две свободных переменных (числа стоящие на диагонали $T^{-1}XT$) и две связанных.
Ранг Вашей системы равен двум.

-- Ср июн 02, 2010 17:32:22 --

Но конечно решать надо именно Вашим методом, Вы сразу получаете соотношение между элементами матрицы Х.

[ewert]

kirbi в сообщении #326826 писал(а):

Выходит система недоопределена?

Она не может не быть недоопределенной -- ведь решений-то заведомо бесконечно много

[kirbi]

Всем спасибо, разобрался.