2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить матричное уравнение AX=XA
Сообщение02.06.2010, 17:11 


02/06/10
5
Здравствуйте.

Такая задача. Решить матричное уравнение $AX=XA$, где $ 
A = 
\left( \begin{array}{с с}
1 & 2\\
3 & 4
\end{array} \right )
$

Я записал матрицу X как $ 
\left( \begin{array}{с с}
x_1 & x_2\\
x_3 & x_4
\end{array} \right )
$, перемножил матрицы слева и справа, в итоге у меня получилась система из трёх уравнений (1 и 4 вышли одинаковыми).

$
\left\{ \begin{array}{l}
2 x_1 = 3 x_2,\\
3x_1 + 3x_3 = 3x_4, \\
3x_2 + 2 x_1 = 2x_4
\end{array} \right.
$

теперь у меня загвоздка с тем, что делать дальше? Выходит система недоопределена? Как найти из трёх уравнений четыре неизвестных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить матричное уравнение AX=XA
Сообщение02.06.2010, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
В первом там нет ошибочки? Вроде бы видно $2x_3=3x_2$
Ну и что? Будет много решений. Тут можно попробовать не решать систему через матрицу, а сразу обозначить $x_3=a$, то есть объявить наугад свободную переменную и через неё выразить остальные. Получим кучу матриц, перестановочных с $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить матричное уравнение AX=XA
Сообщение02.06.2010, 17:29 


20/12/09
1527
Вам надо найти коммутирующую матрицу.
Можно привести матрицу $A$ к диагональному виду преобразованием $T^{-1}AT$.
Тогда $T^{-1}XT$ тоже будет диагональная, иначе не будет коммутировать.
Значит всего две свободных переменных (числа стоящие на диагонали $T^{-1}XT$) и две связанных.
Ранг Вашей системы равен двум.

-- Ср июн 02, 2010 17:32:22 --

Но конечно решать надо именно Вашим методом, Вы сразу получаете соотношение между элементами матрицы Х.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить матричное уравнение AX=XA
Сообщение02.06.2010, 17:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
kirbi в сообщении #326826 писал(а):
Выходит система недоопределена?

Она не может не быть недоопределенной -- ведь решений-то заведомо бесконечно много

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить матричное уравнение AX=XA
Сообщение03.06.2010, 21:31 


02/06/10
5
Всем спасибо, разобрался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group