Помогите с топологией пожалуйста

[LyaLya]

Решите пожалуйста любые 5 номеров

1) На отрезке [0,1] $\subset R$ введена топология, в которой открыты все множества, полученные выбрасыванием из [0,1] не более чем счетного множества точек. Докажите, что выполняется аксиома отделимости $T_1$. Будет ли выполняться аксиома отделимости $T_2$?

2) Найти предельные точки множества A = (0,1) в $R^1$.

3) Пусть А множество иррациональных точек на вещественной прямой $R^1$. Найти $\overline{A}$.

4) Докажите, что эллиптический параболоид 2z = $\frac {x^2}{p}+\frac {y^2}{q}$ является гладким многообразием. Постройте атлас.

5) Пусть X -- бесконечное множество. Семейство $\tau$ состоит из (/), X и всех подмножеств X, дополнения которых конечны. Докажите, что $\tau$ -- топология на X.

6) Пусть множество U открыто в топологическом пространстве X, и A = $\partial$U. Покажите, что $\partial$A = A.

7) Пусть на X задана топология конечных дополнений. Покажите, что любое подмножество X компактно.


Предмет гордо называется "геометрия и топология", хотя по топологии была всего одна крайняя лекция.... как следствие, абсолютно не разбираюсь в предмете. Очень надеюсь на вашу помощь

[TralAfi]

здесь за вас не решают! читайте правила форума

[maxmatem]

Ну самое время вам написать эти самые аксиомы отделимости ,а именно $T_{1}$ и $T_{2}$, последняя это ничто иное как аксиома Хаусдорфа.Когда вы их запишите вам многое станет понятно. Ну если с первым заданием, можно от противного, ну это как хочется...
Со вторым, всё просто очевидно , вам достаточно вспомнить(а может прочитать определение предельной точки множества) На всякий случай вот вам это определение:
Точка $p$ топологического пространства $X$ называется предельной точкой подмножества$\[P \subset X\]$
, если $\[\forall U_p \]$ будет выполнено:$ \[U_p \cap P\]$ содержит бесконечное число точек.

[paha]

LyaLya в сообщении #326148 писал(а):

Предмет гордо называется "геометрия и топология", хотя по топологии была всего одна крайняя лекция

не верю!

За одну лекцию до компактности не дойти:) Или на самостоятельное изучение дали?

[LyaLya]

Цитата:

Или на самостоятельное изучение дали?

В том то и дело, что после вводной лекции, остальное дали разбирать на дом)

-- Ср июн 02, 2010 06:58:53 --

maxmatem, большое спасибо за помощь)) Работу уже сдала) Пришлось изрядно покопаться чтобы все решить)