Задачи: Преобразование Фурье

[ildmth]

Подскажите где можно почитать про такие элементарные вещи как например:
Есть последовательность $x[n]$. Доказать, что последовательность вещественна т.и.т.тогда $X(-w)=$сопряженное$X(w)$, где $X[w]$- преобразование Фурье от $x[n]$

[Cave]

Не знаю, где прочитать, а почему бы самому не доказать?
Если $x[n]$ вещественна, то утверждение очевидно? А в обратную сторону воспользоваться формулой обратного преобразования Фурье.

[ildmth]

да, очевидно, мне. но не преподу.


хотя нет. не очевидно.

[Cave]

Тогда напишите, чему равно $X(\omega)$ по определения, чему равно сопряжённое к нему (вновь по определению) и чему равно $X(-\omega)$.

[ildmth]

второй вопрос:

доказать соотношение:

$$\int_{-inf}^{inf} h(t-nT)h(t-mT)dt = 0 $$

,

если $m\neq n$, для $h(t)=sin(\pi t/T)/T$

используя ортоганальность преобразования Фурье.

Где можно почитать про ортоганальность преобразования Фурье?

to Cave:

$X(w)= $$\sum x[n]exp(-2\pi iwn)$$
$X(-w)= $$\sum x[n]exp(2\pi iwn)$$
сопряженное$(X(w))= $$\sum x[n]exp(2\pi iwn)$$

-- Вс май 30, 2010 23:29:38 --

дейвствительно, первый вопрос снят, за очевидность.

[ildmth]

доказать соотношение:

$$\int_{-inf}^{inf} h(t-nT)h(t-mT)dt = 0 $$

,

если $m\neq n$, для $h(t)=sin(\pi t/T)/t$

используя ортоганальность преобразования Фурье.

правильно я понимаю? нужно взять преобразование фурье от каждого множителя?

[ewert]

Равенство нулю этого интеграла означает ортогональность подынтегральных сомножителей друг другу. А ввиду ортогональности преобразования Фурье -- ортогональность сомножителей равносильна ортогональности их Фурье-образов.

(а их Фурье-образы -- это одиночные прямоугольные импульсы, умноженные на разные комплексные экспоненты)

[ildmth]

возможно я вас не понял.
но то, что этот интеграл равен нулю, нужно как раз доказать, а вы начали с того, что он уже равен нулю, нет?

[ewert]

ildmth в сообщении #325898 писал(а):

, а вы начали с того, что он уже равен нулю, нет?

нет, я сказал, к какому эквивалентному утверждению то, исходное, следует сводить; вот и доказывайте это эквивалентное утверждение

[ildmth]

[quote="ewert в [url=http://dxdy.ru/post325882.html#p325882]]
(а их Фурье-образы -- это одиночные прямоугольные импульсы, умноженные на разные комплексные экспоненты)[/quote]

что значит одиночный прямоугольный импульс?

[AD]

Сменил заголовок темы на информативный. Прошу также более аккуратно отнестись к $\TeX$у, а то в карантин отправлю.

[ewert]

ildmth в сообщении #326039 писал(а):

что значит одиночный прямоугольный импульс?

Это значит -- вот ровно преобразование Фурье от того Вашего "аш", который был до сдвигов.

(Оффтоп)

но не "эйч", разумеется; ни в коем разе

И раз уж Вам эту задачку подсунули -- то подразумевается (разумеется), что Вы с этой формулой знакомы.

А если нечаянно вдруг нет -- то зайдите с противоположной стороны. Посчитайте, что будет преобразованием Фурье (не принципиально, прямым или обратным) от функции, равной константе на некотором промежутке (-а;а) и нулю вне его.

[ildmth]

если 0 принадлежит (-a,a) то это будет дельта функция умноженная на константу, иначе ноль?