Найти аналитическое выражение для функции

[Leox]

Линейная функция $\varphi_{a,b}$ переводит формальный степенной ряд от переменной $z$ в формальный степенной ряд от переменных $t_1, t_2$ действуя по правилу

$$ \varphi_{a,b}(z^n)=\sum_{a i+b j=n} t_1^i t_2 ^j, \text{ здесь } a,b,i,j - \text{целые неотрицательные числа} $$

Нужно найти аналитическое представление такого действия. Аналитичность понимается в следующем смысле: похожая функция

$$ \varphi_{a}(z^n)=\sum_{a i=n} t^i , \text { сумма здесь искусственна и состоит из одного слагаемого} $$

имеет простое представление

$$ \varphi_{a}(z^n)=\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} (\zeta_i z)^n, $$

здесь $\zeta_i$ - первообразный корень из единицы степени $n.$
Нужно найти что-то похожее и для $\varphi_{a,b}.$

[RIP]

Т.е. Вам надо нечто вроде

$$\varphi_{a,b}(z^n)=\frac1{ab}\sum_{u=0}^{a-1}\sum_{v=0}^{b-1}\sum_{k=0}^n(\zeta_a^ut_1)^k(\zeta_b^vt_2)^{n-k}$$

(я считаю, что $a>0$, $b>0$; как обычно, $\zeta_l=\mathrm e^{2\pi\mathrm i/l}$)?

[Leox]

RIP в сообщении #325216 писал(а):

Т.е. Вам надо нечто вроде

$$\varphi_{a,b}(z^n)=\frac1{ab}\sum_{u=0}^{a-1}\sum_{v=0}^{b-1}\sum_{k=0}^n(\zeta_a^ut_1)^k(\zeta_b^vt_2)^{n-k}$$

(я считаю, что $a>0$, $b>0$; как обычно, $\zeta_l=\mathrm e^{2\pi\mathrm i/l}$)?

Да, что-то в етом роде, спасибо, я проверю. Пробовал с двумя суммами - не получась, спасибо.

[Leox]

Все работает. Правда нужно еще сделать в конце замену $t_1^a \to t_1$ и $t_2^b \to t_2,$ но ето уже мелочи. Спасибо.

[RIP]

Да, зевнул, что там показатели $i,j$, а не $ai,bj$.