Касательная плоскость к поверхности

[Kafari]

Здравствуйте!
Помогите, мне, пожалуйста, решить такую вот несложную задачу:

Пусть $u=f(x,y)$ , $d^2 u$ в точке $M_0 (x_0,y_0)$ существует и является положительно определенной квадратичной формой. Докажите, что при этом условии в некоторой окрестности точки $N_0 (x_0,y_0, f(x_0,y_0))$ касательная плоскость к графику функции $u=f(x,y)$ в точке $N_0$ имеет единственную общую точку с графиком.

Раз про первый дифференциал ничего не сказано, то утверждать, что это экстремум, нельзя. Но в общем, очевидно, что это и не для экстремума выполняться будет... Вот я записываю уравнение касательной плоскости:
$z = u(x_0,y_0) + \frac{\partial u}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial u}{\partial y} (y - y_0) $.
Условие касания:
$z = f(x,y)$.
А дальше как-то не соображу, что делать. Подскажите, пожалуйста.

[Padawan]

Разность между функцией и касательной плоскостью $\approx\dfrac{1}{2}d^2u>0$

[paha]

Разложите $f$ в точке $(x_0,y_0)$ по Тэйлору до $o(|x-x_0|^2+|y-y_0|^2)$

[Kafari]

Padawan в сообщении #324871 писал(а):

Разность между функцией и касательной плоскостью

Насколько мне известно, такой трюк работает только когда первый дифференциал равен нулю. Тогда действительно:
$u(x,y) - u(x_0,y_0) \approx du(x_0,y_0) + \frac 1 2 d^2 u(x_0,y_0) = \frac 1 2 d^2 u(x_0,y_0)$.
Тогда касательная плоскость горизонтальна, то есть ее дифференциал равен нулю...
В связи с этим такая идея: может быть, когда плоскость не горизонтальна, то правую часть ее уравнения можно заменить на дифференциал функции $u$ и тогда получится
$u(x,y) - u(x_0,y_0) = du(x_0,y_0)$.
Верно ли это? Меня смущает само выражение, ведь с одной стороны какая-то величина, с другой бесконечно малая... Хотя может быть, можно сказать, что бесконечно малое приращение $z$-координаты касательной плоскости равно первому дифференциалу функции в точке касания. Так правильно?
Если да, то вопрос ясен))

[Padawan]

Kafari в сообщении #324962 писал(а):

Насколько мне известно, такой трюк работает только когда первый дифференциал равен нулю.

Такой трюк работает всегда - см. сообщение paha

[Kafari]

Спасибо!
Да, я вроде так и делаю, и получается то, что получается... Меня пока интересует, можно ли переписать уравнение плоскости в виде дифференциала. Проблема была в этом

Правильно?

[AKM]

Знаете, я в трёхмерных задачках не особо рублю, и попытался себе её малость упростить:

Цитата:

Пусть $u=f(x)$ , $u''$ в точке $M_0 (x_0,u_0)$ существует и положительна. Докажите, что при этом условии в некоторой окрестности точки $N_0 (x_0,f(x_0))$ касательная прямая к $u=f(x)$ в точке $N_0$ имеет единственную общую точку с графиком.

И правда, думаю, как же без нулевой первой производной? Глянул ---

$$ \begin{array}{rcl} f(x) &=& f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac12f''(x_0)(x-x_0)^2+\text{какие-то там о-малые-большие}\\ l(x) &=& f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\quad\quad\text{--- а это у меня касательная!}\\ f(x)-l(x) &=&0+0+\frac12f''(x_0)(x-x_0)^2+\ldots \end{array}$$

--- и вроде как всё получается. Может --- поможет?

[Kafari]

Да, теперь понятно. Спасибо большое!

[paha]

(Оффтоп)

Kafari в сообщении #324962 писал(а):

Насколько мне известно, такой трюк работает только когда первый дифференциал равен нулю

К делу не относится, но важно: второй дифференциал функции в точке (как билинейная форма на касательном пространстве) корректно определен (не зависит от выбора координат) только в случае когда первый дифференциал (как линейная форма на том же пространстве) равен нулю