Упростить Выражение Суммы квадратов

[kazachok]

Всем добрый день.
Пробую упростить следущее выражение:
$$\sum((x-a)^2+(y-b)^2)^2$

Мне необходимо упростить его так, чтобы a и b были вынесены за прделы суммы.

Спасибо за помощь.

Каз

[AKM]

Вряд ли это называется "упростить". Это, скорее, преобразовать (усложнить).
Ну ракройте все скобки, получится типа

$$\sum_{i=1}^N(\ldots)^2=\sum_{i=1}^N(x_i^4-2ax_i^3+\ldots +a^4+\ldots)= Na^4+\sum_{i=1}^N x_i^4-2a\sum_{i=1}^N x_i^3+\ldots$$

Или я чего-то не понял?

[kazachok]

Там ещё b есть. Моя проблемма в том что мне нузно выражение, где Суммы не будут зависеть от a и b.
Для моей компуторной программы мне неообходимо вычислить суммы так чтобы они были абсолютно независимы от a и b, эта программа решает/находит лучшую геометрическую дугу из данных точек в протранстве. И для того чтобы оптимизировать код мне нужно убрать a и b из сумм, иначе программа занимает много времени и ресурсов.

Кстати, a и b не что иное как Среднее всех x и Среднее всех y для всех точек.
Спасибо за помошь.

Каз

[AKM]

kazachok в сообщении #324254 писал(а):

Там ещё b есть.

Я выписал только несколько членов для примеру. $b$ --- в многоточии, по аналогии.

Цитата:

эта программа решает/находит лучшую геометрическую дугу из данных точек в протранстве.

Не верю. Метод наименьших квадратов для окружности реализуется не так.

Цитата:

в протранстве.

Пространства в Вашей формуле не видно. Видно что-то похожее на проскость.

Цитата:

Кстати, a и b не что иное как Среднее всех x и Среднее всех y для всех точек.

А, то бишь это не есть искомый центр окружности? Ну так распишите ту сумму, и замените каждое $\sum x_i$ на $Na$, каждое $\sum y_i$ на $Nb$.
Впрочем, я даже не заметил, что в Вашем первом сообщении нет никаких индексов. Я их типа сам додумал.

Только ничего похожего на аппроксимацию дуги окружности здесь не видится.

[Алексей К.]

Может, сгодится эта тема.