Задача по топологии. Два непрерывных отображения...

[print_print]

Пусть $f:[0,1]\rightarrow [0,1]\times[0,1] $, $g:[0,1]\rightarrow [0,1]\times[0,1]$ - два непрерывных отображения. Если
$f([0,1])\cap({0}\times[0,1])\neq\emptyset, f([0,1])\cap({1}\times[0,1])\neq\emptyset$, а
$g([0,1])\cap([0,1]\times{0})\neq\emptyset, g([0,1])\cap([0,1]\times{1})\neq\emptyset$. Доказать, что
$f([0,1]) \cap g([0,1])\neq\emptyset$. Т.е. кривая $f([0,1])$ пересекается с боковыми сторонами квадрата, а кривая $g([0,1])$ пересекается с верхней и нижней стороной квадрата. Нужно доказать, что эти две кривые пересекаются.
Начинаем доказывать от противного. Предположим, что $f([0,1]) \cap g([0,1])=\emptyset$. Из этого можно сделать вывод, что объединение этих двух кривых - множество несвязное. А можно ли какие-то другие выводы сделать из отсутствия пересечения этих двух кривых? И что можно сделать дальше? Как я понял, нужно довести до противоречия с каким-либо из условий, например с непрерывностью одного из отображений, или с условием пересечения с границами квадрата. Нужно ли рассматривать все случаи? Или можно сделать проще?

[sergey1]

Воспользуйтесь теоремой Жордана и тем, что непрерывный образ связного пространства связен

[paha]

От противного

Пусть
$f(x_1)=(0,a_1)$, $f(x_2)=(1,a_2)$

$g(y_1)=(b_1,0)$, $g(y_2)=(b_2,1)$

Рассмотрим векторное поле $n:I\times I\to S^1$

$$ n(x,y)=\frac{f(x)-g(y)}{|f(x)-g(y)|} $$

посмотрите как оно ведет себя на сторонах квадрата с вершинами в $(x_i,y_j)$

Число вращения этого поля $-1$

Теперь стягивайте квадрат в точку $A(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$ и смотрите за этим векторным полем

Число вращения по непрерывности поля всегда остается $-1$, поэтому в точке $A$ поле не определено... противоречие