Проверьте пожалуйста: неубывание функции

[Sasha2]

Вот дана такая задача, при помощи интеграла или производной доказать, что для всех $x>0$ справедливо следующее неравенство:
$\frac{x^p-1}{p} \ge \frac{x^q-1}{q}$, если $p>q>0$.

Составляем функцию $f(x)=\frac{x^p-1}{p}-\frac{x^q-1}{q} $, что в итоге приводит вот к такой функции
$f(x)=(qx^p-px^q)+(p-q)$, для которой нало доказать, что она больше или равна нулю.
В единице это так.
Считаем производную, которая равна $f'(x)=qp(x^{p-1}-x^{q-1})$.
Единственная точка, в которой эта производная равна нулю, это опять же единица.
Считаем в единице вторую производную, которая равна $f''(1)=qp(p-q) > 0$.
Следовательно единица, это точка строгого глобального минимума. Других минимумов нет.
Отсюда и заключаем, что неравенство верно.
Сомнения есть относительно приближения к нулю. Верно ли это рассуждение для этого случая (приближения к нулю).


Еще вот интересно, а как интеграл сюда можно прицепить, чтобы доказать это неравенство?

[lel0lel]

$\frac{x^p-1}{p} = \int \limits_{1}^{x} y^{p-1} dy$, если $p>0$

[Sasha2]

Да спасибо, решение с интегралом еще проще оказывается.

[AD]

Sasha2, пожалуйста, выбирайте для своих тем более содержательные заголовки.
Отредактировал.