Интеграл Лебега.

[green_Ekatherine]

Пусть E - измеримое множество, f - неотрицательная суммируемая на E функция, g - измеримая функция, удовлетворяющая почти всюду на E неравенствам $a\le g\le b$. Доказать, что существует $c$ такое, что
$\int f(x)g(x)dx=c\int f(x)dx$ (интегралы на E).

Т.к. функция g(x) ограничена, то первое что приходит на ум записать в виде:
$a\int f(x)dx\le g(x)\int f(x)dx\le b\int f(x)dx$.
Далее, на мой взгляд это следует связать с интегралом $\int f(x)g(x)dx$, только вот возможно ли это? По идее, надо доказать что при интегрировании g(x) не устремится на бесконечность, тогда существует такой коэффициент c, правильно я понимаю?

[Padawan]

Если $f(x)=0$ п.в. на $E$, то $c$ любое. Если нет, то $c=\dfrac{\int f(x)g(x)\,dx}{\int f(x)\,dx}$.

[green_Ekatherine]

а доказать-то как?

[Padawan]

Домножьте обе части на $\int f(x)\,dx$

[green_Ekatherine]

ваше равенство?

[Padawan]

Да

[green_Ekatherine]

Так получается из пустого в порожнее... Мне это равенство надо доказать исходя из данных условий на функции: f - неотр. суммируемая и g - измеримая, удовл. неравенству.

[Padawan]

Я доказал, что существует такое $c$. Даже написал какое именно.