Медиана случайной величины

[ant]

Дана плотность вероятности случайной величины: $f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0, x<0, x>1\\ 12x^2(1-x), 0\le x \le 1 \end{array} \right. $ Нужно найти медиану.
Если исходить из определения медианы: $P(X<m)=P(X>m)$ или $P(X<m)=0.5$, тогда:

$$P(0<X<m)=12 \int\limits_{0}^{m} (x^2-x^3) dx=4m^3-3m^4=0.5$$

Возникает вопрос, как решить это уравнение? Или есть какие-то более простые методы нахождения медианы?

[Хорхе]

Более простых методов нет. Вообще других методов нет. А уравнение решить либо приближенно, либо... Нет, лучше приближенно.

[ant]

Появился ещё вопрос:
Есть функция распределения:
$F(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0, x\le 1\\ 0.3, 1<x \le 2 \\ 0.5, 2< x \le 3 \\ 0.6, 3< x \le 4 \\ 0.76, 4< x \le 5 \\ 1, x>5\end{array} \right. $
Нужно найти медиану. Опять же, если искать по определению, то $P(X<m)=F(m)=0.5$ и получается что медиан бесконечное множество, и все они находятся в интервале: $m\in (2;3]$. Так ли это?

[Viktor_2]

ant в сообщении #327046 писал(а):

Появился ещё вопрос:
Есть функция распределения:
$F(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0, x\le 1\\ 0.3, 1<x \le 2 \\ 0.5, 2< x \le 3 \\ 0.6, 3< x \le 4 \\ 0.76, 4< x \le 5 \\ 1, x>5\end{array} \right. $
Нужно найти медиану. Опять же, если искать по определению, то $P(X<m)=F(m)=0.5$ и получается что медиан бесконечное множество, и все они находятся в интервале: $m\in (2;3]$. Так ли это?

$F(m)\ge0.5$
$m=\frac83$

[Viktor_2]

насчет $m=\frac83$ я погорячился
(если) случай дискретный, (то) $x_{0,5}=3$

[--mS--]

ant в сообщении #327046 писал(а):

Нужно найти медиану. Опять же, если искать по определению, то $P(X<m)=F(m)=0.5$ и получается что медиан бесконечное множество, и все они находятся в интервале: $m\in (2;3]$. Так ли это?

Так. Ещё число 2 добавьте. Медианой принято называть любое число $\mu$ такое, что $P(X \leq \mu) \geq 0,5$ и $P(X \geq \mu)\geq 0,5$. Убедитесь, что число 2 также подходит.

На самом деле стоит посмотреть определение в своих лекциях: часто бывает так, что в качестве медианы в случае, если она определяется неединственным образом, берут левую/правую/среднюю/прочую точки отрезка.

[Viktor_2]

даже если случай непрерывный, то $P(X \leq \ 2)=0,3<0,5$ и $P(X \geq \ 2)= P(X > 2)=1-0,3=0,7$

[--mS--]

Viktor_2, Вам стоит разобраться с определением и свойствами функции распределения. В частности, для данной функции распределения $P(X \leq 2) = 0,5 \neq 0,3$. Что Вы имели в виду фразой "даже если случай непрерывный", без понятия.

[Viktor_2]

--mS-- в сообщении #327334 писал(а):

Viktor_2, Вам стоит разобраться с определением и свойствами функции распределения. В частности, для данной функции распределения $P(X \leq 2) = 0,5 \neq 0,3$. Что Вы имели в виду фразой "даже если случай непрерывный", без понятия.

ant в сообщении #327046 писал(а):

(...) Есть функция распределения:
$F(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0, x\le 1\\ 0.3, 1<x \le 2 \\ 0.5, 2< x \le 3 \\ 0.6, 3< x \le 4 \\ 0.76, 4< x \le 5 \\ 1, x>5\end{array} \right. $

Согласно п. III.3.2. правил я обязан ответить.
Мое мнение: согласно данной теоретической функции распределения событие $X \leq 2$ происходит с частотой 0,3.

[Viktor_2]

--mS-- в сообщении #327334 писал(а):

Что Вы имели в виду фразой "даже если случай непрерывный", без понятия.

В случае непрерывного распределения $P(X=2)=0$

[--mS--]

Viktor_2 в сообщении #327499 писал(а):

Согласно п. III.3.2. правил я обязан ответить.
Мое мнение: согласно данной теоретической функции распределения событие $X \leq 2$ происходит с частотой 0,3.

Ваше мнение будет иметь ценность только тогда, когда Вы обзаведётесь необходимыми знаниями по предмету. Напишите, пожалуйста, что за функция $F(x)$ у ТС приведена, её определение.

[ewert]

Но вообще-то медиана дискретной случайной величины -- это некоторая нелепость. Мало ли какие чудеса могут нечаянно случиться; нельзя на этом задачи строить.

(Вот выборочная медиана -- это уже осмысленно. Но это -- уже совсем другая тема, хотя формально и выглядит родственной.)

[Viktor_2]

--mS-- в сообщении #327506 писал(а):

Viktor_2 в сообщении #327499 писал(а):

Согласно п. III.3.2. правил я обязан ответить.
Мое мнение: согласно данной теоретической функции распределения событие $X \leq 2$ происходит с частотой 0,3.

Ваше мнение будет иметь ценность только тогда, когда Вы обзаведётесь необходимыми знаниями по предмету. Напишите, пожалуйста, что за функция $F(x)$ у ТС приведена, её определение.

$F(x)=P(X\le x)$
$F(2)=P(X\le 2)=0,3$
$F(3)=P(X\le 3)=0,5$

[ИСН]

Ваш взгляд понятен, но в условии написано другое.