Вектор-функция скалярного аргумента

[Ali_Ka]

Добрый день! Очень прошу помощи в проверке правильности выполнения следующих заданий. Пытаюсь тренироваться перед контрольной, но не уверен, что всё правильно и один вопрос немного не понял (я его выделил жирным шрифтом). Тема: вектор-функция скалярного аргумента.

Дана вектор-функция $r(t) = (t+1)\vec{i} + (t^2-1)\vec{j} + t^3\vec{k}$ и точка $t_0 = 1$. В точке $t_0$ требуется найти:
1) $\frac{dr}{dt}$ и $\frac{d^2r}{dt^2}$.
2) Уравнение касательной.
3) Уравнение нормальной плоскости.
4) Кривизну.
5) Дифференциал длины годографа вектор-функции.

1)

$$\frac{dr}{dt} = (t+1)'\vec{i} + (t^2-1)'\vec{j} + (t^3)'\vec{k} = \vec{i} + 2t\vec{j} + 3t^2\vec{k}.$$

В точке $t_0 = 1$ получаем:

$$\frac{dr}{dt} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}.$$

$$\frac{d^2r}{dt^2} = (1)'\vec{i} + (2t)'\vec{j} + (3t^2)'\vec{k} = 2\vec{j} + 6t\vec{k}.$$

В точке $t_0 = 1$ получаем:

$$\frac{d^2r}{dt^2} = 2\vec{j} + 6\vec{k}.$$

2) Если $r(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$, то уравнение касательной имеет вид:

$$\frac{X - x}{dx/dt} = \frac{Y - y}{dy/dt} = \frac{Z - z}{dz/dt}.$$

Для нашей вектор-функции получается:

$$\frac{X - (t+1)}{1} = \frac{Y - (t^2 - 1)}{2t} = \frac{Z - t^3}{3t^2}.$$

В точке $t_0 = 1$ получаем:

$$\frac{X - 2}{1} = \frac{Y}{2} = \frac{Z - 1}{3}.$$

3) Уравнение нормальной плоскости имеет вид:

$$\frac{dx}{dt}(X - x) + \frac{dy}{dt}(Y - y) + \frac{dz}{dt}(Z - z) = 0.$$

Для нашей функции получается:

$$(X - x) + 2t(Y - y) + 3t^2(Z - z) = 0.$$

В точке $t_0 = 1$ получаем:

$$(X - x) + 2(Y - y) + 3(Z - z) = 0.$$

4) Формула для вычисления кривизны (нашёл такую, но тоже не уверен, что это то, что нужно):

$$K^2 = \frac{\left [ \frac{dr}{dt} \times \frac{d^2r}{dt^2} \right ]^2}{\left[ \left( \frac{dr}{dt}\right)^2 \right ]^3}.$$

$$\frac{dr}{dt} = \vec{i} + 2t\vec{j} + 3t^2\vec{k}.$$

$$\frac{d^2r}{dt^2} = 2\vec{j} + 6t\vec{k}.$$

$$\frac{dr}{dt} \times \frac{d^2r}{dt^2} = \left | \begin{array}{ccc} i & j & k\\ 1 & 2t & 3t^2\\ 0 & 2 & 6t \end{array} \right | = 6t^2\vec{i} - 6t\vec{j} + 2\vec{k}.$$

$$\left [ \frac{dr}{dt} \times \frac{d^2r}{dt^2} \right ]^2 = 4(3t^2 - 3t + 1)^2.$$

Тогда в итоге получаем:

$$K^2 = \frac{4(3t^2 - 3t + 1)^2}{(3t^2+2t^2+1)^6}.$$

В точке $t_0 = 1$ получается, что $$K^2 = \frac{4}{46656}$, значит $K = \frac{1}{108}$$.

5) Здесь я немного не понял задание... дифференциал длины годографа вектор-функции - это то же самое, что дифференциал длины дуги? Можно ли для его вычисления использовать формулу

$$ds = \sqrt{(x')^2 + (y')^2 + (z')^2}dt$$

? Или это что-то другое?