Замена переменных в тройном интеграле

[milkwacko]

Добрый вечер.
Задание: вычислить через гамма-функции
$\iiint\limits_{G} x^p y^q z^r (1-x-y-z)^s\,dxdydz$
$G:\,x+y+z<1\,\,\,\,\,x,y,z > 0\,\,\,\,p,q,r,s>0$

Делаю замену переменных: $x+y+z=u,\,\,y+z=uv,\,\,z=uvw$.
$G:\,u<1,\,\,u,v,w>0$
Интеграл тогда выглядит довольно прилично, гамма-функции из него вытряхивать проще:
$\iiint\limits_{G} u^{p+q+r} v^{q+r} w^r (1-u)^s (1-v)^p (1-w)^q\,dxdydz$
Теперь тройной интеграл надо раскладывать на обычные определенные. Вопрос: как определить границы изменения переменных $u,v,w$ на заданной области? Видимо, $0\le u\le 1$, а остальные?

[Полосин]

Мне кажется, проще "матрешкой":
$I=\int\limits_0^1x^pdx\int\limits_0^{1-x}y^qdy\int\limits_0^{1-x-y}z^r(1-x-y-z)^sdz=...(1-x-y)^{r+s+1}\int\limits_0^1u^r(1-u)^sdu=...$

[milkwacko]

Полосин в сообщении #323213 писал(а):

$I=\int\limits_0^1x^pdx\int\limits_0^{1-x}y^qdy\int\limits_0^{1-x-y}z^r(1-x-y-z)^sdz=...(1-x-y)^{r+s+1}\int\limits_0^1u^r(1-u)^sdu$

этот переход был произведен с заменой $u = x+y+z$, я правильно понял?

[milkwacko]

Что-то никак не могу разобраться, каким образом Полосин осуществил этот переход... Возможно, кто-нибудь может подсказать?

[Полосин]

$z=(1-x-y)u$.