ТФКП Найти главное значение интеграла полюс лежит на разрезе

[madgooch]

Подскажите как решить:
Найти v.p.$\int_{0}^{2\pi}\frac {d\varphi} {a+\sin \varphi}$ (-1<a<1)
Вариант а), где а>1 решил. Там все просто.
Не пойму как считать интеграл, если оба полюса на разрезе. Заранее спасибо.

[ewert]

(Не на разрезе, а на контуре.) Там оба полюса простые, и оба на контуре, поэтому вычеты в них надо брать с коэффициентом $\pi i$.

[madgooch]

Так сумма вычетов всё равно будет равна нулю. Видимо поэтому надо брать главное значение. Только непонятно, ведь главное знач. считается, когда интеграл не существует. Я правильно понял? И еще не могу догнать какие пределы брать при вычислении v.p.

Цитата:

Не на разрезе, а на контуре.

Да, точно.

[ewert]

madgooch в сообщении #322994 писал(а):

Так сумма вычетов всё равно будет равна нулю. Видимо поэтому надо брать главное значение.

Не поэтому, а просто по определению надо брать главное значение (раз уж в обычном смысле интеграл не существует). Ну а что ноль в результате выходит -- значит ноль; знать, такая судьба этому интегралу выпала, ничего не попишешь.

(Да, а судьба, кстати, не случайна. Там всегда ровно два полюса, за исключением граничного случая. И сумма вычетов в них всегда равна нулю, поскольку равен нулю вычет на бесконечности. Просто если полюса не лежат на окружности, то учитывается только один из них, а если лежат -- то оба.)

madgooch в сообщении #322994 писал(а):

И еще не могу догнать какие пределы брать при вычислении v.p.

Что значит "какие". По окружности -- и точка.

[madgooch]

Так в том то и дело, что интеграл вроде бы существует. А вычисление главного значения состоит в том , чтобы взять интеграл какому-то контуру за исключением нескольких особых точек. Так?

[ewert]

Нет. Вы, похоже, не понимаете смысл темы. Понятие "главного значения" вводится именно тогда, когда интеграл в обычном смысле не существует. А иначе зачем оно и нужно-то.

[madgooch]

Цитата:

Ну а что ноль в результате выходит -- значит ноль; знать, такая судьба этому интегралу выпала, ничего не попишешь.

ewert, по вашему главное значение этого интеграла равно 0?

[ewert]

ну да. Что ж тут уж теперь поделаешь-то.

[madgooch]

Ноль у меня самого все время получается. В задачнике дан ответ $\frac {\pi} {\sqrt{1-a^2}}$. Уже не знаю как еще считать.