Задача по стереометрии на касание шаров.

[gris]

Задача дотошного tvg09 про двугранный угол (а конкретно "особое" положение одного шара под другим) навеяла воспоминание об одной старинной вступительной задаче.
Два шара радиуса $R$ лежат на плоскости и касатся друг друга. Рядом с ними лежат два шара радиуса $r\leqslant R$, каждый касается одного большого шара и своего маленького друга. Между шарами перпендикулярно плоскости и с вершиной на ней вставлен конус, касающийся всех четырёх шаров.
Надо определить угол при вершине конуса.

У меня два вопроса.
1) Один ли я вижу в задаче некую непристойность, некие фрейдистские намёки.
2) Подход к решению задачи.

Естественно, угол зависит только от отношения радиусов.
Я по привычке выделил два крайних случая, который решаются просто. Когда два маленьких шара находятся строго под большими, и угол конуса равен 0. Когда радиусы всех шаров равны и угол легко считается. Эти случаи станут дополнительной проверкой в общем случае.
А в общем случае получилось довольно нудное решение.
Идея такова. Точки касания шаров и плоскости образуют трапецию.Вместе с центрами шаров они образуют некий многогранник. Пользуясь свойствами касания, можно найти высоту трапеции, выраженную через радиусы.
Далее, обозначив угол конуса через $x$, выражаем через него и радиусы ту же высоту, проходящую посередине трапеции и разделённую на две части вершиной конуса. Каждую часть считаем отдельно.

Вопрос. Не знает или не видит ли кто более изящного подхода. Не очевидно ли (да и верно ли), что вершина конуса лежит на пересечении диагоналейй трапеции? Я усомнился и не стал это использовать.

Спасибо за возможные отклики.

[TOTAL]

gris в сообщении #322283 писал(а):

Не очевидно ли (да и верно ли), что вершина конуса лежит на пересечении диагоналейй трапеции? Я усомнился и не стал это использовать.

Это очевидно. Ведь все расстояния пропорциональны радиусам шаров. Расстояние от вершины конуса до точки касания шара с плоскостью пропорционально радиусу шара (даже если бы там были шары все разных радиусов).

[gris]

TOTAL, спасибо.
Действительно, для конуса с заданным углом про вершине и касающегося его шара в указанном положении, расстояние от вершины конуса до точки касания шара и плоскости пропорционально радиусу шара. В трапеции треугольники, образованные диагоналями и основаниями подобны. То есть отрезки диагоналей пропорциональны основаниям, то есть радиусам. Попробую применить это для решения и посмотреть, упростилось ли оно.
Написал это для себя, в наказание за тупость. Надо было бы сто раз написать, но семь раз скопипастить небольшой труд, да и модераторы заругаются.