Неопределенные линейные уравнения

[Marina]

Необходимо решить уравнение : $3xy+14x+17y+71=0$ в целых числах.Подскажите,пожалуйста.

[ИСН]

Выразите одно через другое.

[Marina]

Я Вас правильно поняла: $x=-\frac{17y+71}{3y+14}$ $y=-\frac{14x+71}{3x+17}$

[ИСН]

Примерно так, да. Достаточно одного из этих выражений. Пусть второе. Это - целое число? А если его умножить на 3?

[Marina]

$3y=-\frac {42x+213}{3x+17}$. А как это применить к решению?

[ИСН]

Ну, смотрите. Ведь и это целое число, да? А если я прибавлю к нему 1, 2, 3, 4, или какое-нибудь другое целое число? Сколько надо прибавить, чтобы получилось что-то интересное?

[Marina]

Может $3x+17$?

[ИСН]

Не хочу говорить прямо; в конце концов, Вам надо попробовать и увидеть. Может, и так. Но если что, мы искали упрощения, а не наоборот.

[Marina]

Мне кажется нужно прибавить 14?

[ИСН]

Бинго!

-- Чт, 2010-05-20, 23:26 --

И что дальше?

[Marina]

В правой части приведём к общему знаменателю: $3y+14=\frac {25}{3x+17}$

[ИСН]

Так. (Вообще-то левую часть можно было не таскать за собой. Просто помнить, что там "что-то целое".)
Дальше?

[Marina]

Тогда $25=(3y+14)(3x+17)$, следовательно $x=-4;y=-3$?

[ИСН]

То ли ответ исчерпывающий, то ли случайно повезло, смотря по тому, что Вы вкладываете в это "следовательно".

-- Чт, 2010-05-20, 23:57 --

Всё-таки случайно. Давайте объяснения.

[Marina]

То что я написала следует из: $3y+14=5$ и $3x+17=5$.