вопрос про метрики и сигма-алгебры с форума МГУ

[matfiz]

Вопрос:

Дана произвольна сигма-алгебра.
Существует ли
структура полного сепарабельного метрического пространства
на единичном множестве этой алгебры,
для которой эта алгебра является борелевской?

-----------------------

Без полноты вроде существует, но нужна полнота.
Вопрос с форума МГУ.

[Padawan]

Сепарабельного не получится - возьмем на континуальном множестве сигма-алгебру всех подмножеств, их будет $2^{\displaystyle{\mathfrak c}}$, а у сепарабельного метрического пространства борелевских множеств континуум $\mathfrak c$.

[matfiz]

да, спасибо за комментарий.

не разобрался пока с редактированием предыдущих сообщений :)

вопрос не точно переписал - там было ещё условие, что сигма-алгебра счетно порождена.
и наверняка подразумевается, что точки (то есть одноточечные множества) измеримы.

тогда сепарабельное, говорят, можно сделать так:

$n$-му непустому множеству $A_n$ из счетной порождающей алгебры полу-метрику сопоставить
вида
$d_n(x,y)=|1_{A_n}(x)-1_{A_n}(y)| $
метризовать
$d=\sum d_n/2^n$

счетное всюду плотное множество получим выбирая по точке из каждого $A_n$~.

Вот насчет полноты неясно.

при этом нульмерность обеспечена - все $A_n$ открыто-замкнуты