Найти норму оператора

[newnewbie]

Доброго времени суток!
Рассматривается пространство $l_2$ и оператор $A:x=(x_1, x_2, \dots,x_k,\dots)\mapsto Ax=(x_1-x_3,x_2-x_4,\dots,x_k-x_{k+2},\dots)$. Помогите доказать, что $||A||=2$ (я в этом почти уверен...). Оценка $||Ax||\leq 2||x||$ почти очевидна. Мне кажется, что здесь тот случай когда норма оператора не достигается на единичном шаре, стало быть, чтобы получить оценку в другую сторону, пытаюсь доказать такое утверждение:
$\forall \varepsilon > 0\quad \exists x_0\in l_2 : ||x_0||\leq1 \Rightarrow ||Ax_0||>2-\varepsilon$.
Вот с этим-то и проблема... Подскажите как это доказать, и на правильном ли я пути вообще?
Заранее большое спасибо.

[ewert]

Рассмотрите финитную последовательность длины $4n$ вида $(1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,...)$. При уходе $n$ на бесконечность отношение норм будет стремиться к двойке.