2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 интегрируемость суперпозиции функций
Сообщение19.05.2010, 00:14 
Аватара пользователя
Доказать, что если функция f интегрируема на отрезке $[a;b], c \leqslant f(x) \leqslant d$ для всех $x\in [a;b]$ и функция g непрерывна на отрезке $[c;d]$, то композиция g(f) также интегрируема на отрезке [a;b].
Видимо нужно решать тупо в лоб, но интегральная сумма не состовляется. Пытался оценить приращение функции y константой на приращение x, но не вышло доказать. А ещё это очень смахивает на некий аналог теоремы о замене, но только без дифференцируемости.

 
 
 
 Re: интегрируемость суперпозиции функций
Сообщение19.05.2010, 05:28 
Интегрируемость по Риману?

-- Ср май 19, 2010 05:42:49 --

Используйте такой критерий: функция $f$ интегрируема на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда $$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^n\omega_i\cdot({x_{i}-x_{i-1})=0,$$
где $\lambda=\min\limits_i\{x_{i}-x_{i-1}\}$ -- мелкость разбиения, а $\omega_i=\mathop{\omega}\limits_{[x_{i},x_{i-1}]}f$ -- колебание функции на $i$-ом отрезке разбиения.

 
 
 
 Re: интегрируемость суперпозиции функций
Сообщение19.05.2010, 10:29 
Ну вообще-то критерий интегрируемости по Риману -- это когда функция ограниченна и множество точек разрыва имеет меру ноль, так что чего уж тут и доказывать...

 
 
 
 Re: интегрируемость суперпозиции функций
Сообщение19.05.2010, 11:56 
Аватара пользователя
Ну если задача все же на интеграл Римана, то вряд ли она дана на том курсе, где изучается критерий про почти всюду непрерывность.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group