диффуры

[patriarch]

подскажите как решить
1)задача Коши
$3y'y''+(y')^3 - y^3+3y=2, y(0)=0,y^' (0)=-1$
2)найти общее решение уравнения
$y'=2t+2t/sqrt((t^2-y))$
3)Построить непродолжаемое решение. Указать интервал существования решения.
$y'=|y+t|, y(0)=-1.$
4)Найти все гладкие функции a(t), такие что уравнение
$y''+a(t)y'+y=0,$
имеет два решения$ y1(t),y2(t), таких, что y1 (t)-y2(t)=0.$
5) Пусть λ - собственное число задачи Штурма-Лиувилля. Доказать, что этому собственному числу соответствует только одна собственная функция.
$u''+5u'=λu,0<t<1 u(0)-2u' (0)=0, u(1)-3u' (1)=0.$

Подскажите, пожалуйста.идей нету совсем.

[AKM]

patriarch в сообщении #320233 писал(а):

$3y'y''+(y')^3 - y^3+3y=2, y(0)=0,y^' (0)=-1$
$y'=2t+2t/sqrt((t^2-y))$
имеет два решения$ y1(t),y2(t), таких, что y1 (t)-y2(t)=0.$

Цитата:

$3y'y''+(y')^3 - y^3+3y=2, y(0)=0,y' (0)=-1$
$y'=2t+\dfrac{2t}{\sqrt{t^2-y}}$
имеет два решения$ y_1(t),y_2(t), таких, что y_1 (t)-y_2(t)=0.$

y' достаточно, не надо y^'

[V.V.]

1. Стандартно ищите решение относительно $p$ после замены $y'=p(y)$. Точнее, относительно $p^3$.

2. Постарайтесь записать в TeX'е.

3. Возможно, поможет замена $y(t)=z(t)-t$.

4. В условии, вероятно, стремление к нулю на бесконечности. Тогда поможет формула Лиувилля-Остроградского.

5. В уравнении не видно правой части.

[ewert]

patriarch в сообщении #320233 писал(а):

подскажите как решить
1)задача Коши
$3y'y''+(y')^3 - y^3+3y=2, y(0)=0,y^' (0)=-1$

$y'(x)\equiv p(y)$

patriarch в сообщении #320233 писал(а):

2)найти общее решение уравнения
$y'=2t+2t/sqrt((t^2-y))$

$t^2-y\equiv z(t)$

patriarch в сообщении #320233 писал(а):

3)Построить непродолжаемое решение. Указать интервал существования решения.
$y'=|y+t|, y(0)=-1.$

Замените $y(t)+t\equiv z(t)$. После чего станет ясно, что непродолжаемых решений не бывает.

Условие вообще звучит дико. Что значит "построить именно непродолжаемое", когда решение задачи Коши единственно.

Но его ещё хоть можно понять, хотя бы формально, в отличие от следующего:

patriarch в сообщении #320233 писал(а):

4)Найти все гладкие функции a(t), такие что уравнение
$y''+a(t)y'+y=0,$
имеет два решения$ y1(t),y2(t), таких, что y1 (t)-y2(t)=0.$

-- которое понять решительно невозможно.

patriarch в сообщении #320233 писал(а):

5) Пусть λ - собственное число задачи Штурма-Лиувилля. Доказать, что этому собственному числу соответствует только одна собственная функция.
$u''+5u'=λu,0<t<1 u(0)-2u' (0)=0, u(1)-3u' (1)=0.$

Предположите, что есть две функции. И докажите, что они пропорциональны (выровняйте их значения в нуле домножением одной из них на константу, тогда и производные выровняются).

[patriarch]

пятое выглядит так
$u''+5u'=$/beta u, 0<t<1 u(0)-2u' (0)=0, u(1)-3u' (1)=0.$

[patriarch]

и что дает в первом подстановка?
$3p^2p'+(p)^3 =y^3-3y+2, $
как его дальше то решать?вначале однородное $3p^2p'+(p)^3 =0 $ делить переменные?

[V.V.]

patriarch, введите новую переменную $z=p^3$. Получится линейное уравнение относительно $z$.

[patriarch]

получиться уравнение $z'+3z^(11/3) =0 $
решая деля переменные имеем p=8z^(-8/3)$

[ИСН]

(ничего не читал, кроме последней строчки)
У бога закончились константы?

[ewert]

patriarch в сообщении #320579 писал(а):

и что дает в первом подстановка?
$3p^2p'+(p)^3 =y^3-3y+2, $
как его дальше то решать?

Молча решать. Это -- уравнение Бернулли (стандартнейшая тема, вы её наверняка обсасывали, как и все остальные учащиеся; не знаю, правда, зачем, скорее всего -- просто потому, что под фонарём).

[patriarch]

ИСН
всмысле а у меня вообще правильно получилось? просто исходя из подстановки $z=p^3$ p должно быть равно кубическому корню из z, а не тому что у меня вышло

[patriarch]

хотя бы ктонибудь подскажите..я явно чего то не понимаю.

[ewert]

да забудьте Вы об этом нищастном корне. Главное -- что бернулли.

[patriarch]

ewert
уравнение бернулли имеет вид $y'+a(x)y =b(x)y^n$

то есть мое уравнение $p'+1/3p =1/3(y^3-3y+2)p^-2, $? на $p^-2$
согласно общей теории делается замена p^-3=z, так?
Но как ее тут сделать? у меня вышло $9z^8+z^6 =y^3-3y+2 $ по идее оно должно было линейным стать, но чтото не очень.

[patriarch]

подскажите с диффуром $x^2y''-3xy'=(6y^2)/x^2 -4xy$
$y(1)=1 ,y'(1)=1$

я пробовал сделать замену y'=p. Но она не привела ни к чему хорошему