Про многозначные функции, корни и др.

[caxap]

Хочется разобраться вот в чём.

1) Я как понимаю, в современной математике понятия "многозначная функция" нет. Если говорят о функции, то всегда подразумевают, что одному значению аргумента всегда соответствует только 1 значение функции.
Но в Фихтенгольце написано про многозначные функции $\mathrm{Arcsin}$ и т. д., а их однозначная ветвь $\arcsin$ и т. д. И это мне показалось очень удобным, напр. $\sin x=y \Leftrightarrow x=\mathop{\mathrm{Arcsin}} y=(-1)^k \arcsin y+\pi k$. Но учебник устарел (кажись) и больше ни в одном учебнике я такого не видел. Где-нибудь вообще применябтся такие обозначения? И правильно ли я понимаю, что их можно рассматривать как однозначную функцию из $\mathbb R$ в $\{\mathbb R\}$ (множество множеств, содержащих в качетсве элементов вещественные числа).

2) И ещё про корни. В вещественных числах используется обозначение $\sqrt x$ для арифметического квадр. корня, вполне себе нормальная однозначная функция. В учебниках по ТФКП под тем же символом понимают множество разных значений. А поскольку вещественные числа -- подмножество комплексных, то спрашивается: что понимать под $\sqrt x$?

3) Вот когда пишется, например, $x=\pi k$, $k\in \mathbb Z$, то значит $x$ -- это множество?. Т. е. мы число $\pi$ умножили на множество и получили новое множество. Так? Но разве множества можно умножать вообще на что-то?
Потом мы пишем, например, $\sin x=0$, но $\sin$ -- это же функция из $\mathbb R$, а не из $\{\mathbb R\}$.
Или например другой пример: интеграл, $\int f(x)dx=F(x)+C$, разве должно быть не $\int f(x)dx=\{F(x)+C\}$?

У меня в голове большая путанница с этим, помогите навести там порядок, пож-ста.

[ewert]

caxap в сообщении #320186 писал(а):

напр. $\sin x=y \Leftrightarrow x=\mathop{\mathrm{Arcsin}} y=(-1)^k \arcsin y+\pi k$. Но учебник устарел (кажись) и больше ни в одном учебнике я такого не видел. Где-нибудь вообще применябтся такие обозначения?

Может и устарел, но не настолько. Это общепринятые обозначения.

Под "многозначной функцией" понимается функция вполне себе однозначная, но определённая не на исходной комплексной плоскости, а на римановой поверхности, полученной из исходной комплексной плоскости разрезанием скольки-то там её экземпляров и последующим склеиванием этих экземпляров друг с другом по берегам разрезов.

А "главное значение" такой функции (в частности, арксинус с маленькой буквы) -- это та самая функция, суженная на один (вполне определённый) экземпляр.

С корнями -- ровно та же история.

caxap в сообщении #320186 писал(а):

И правильно ли я понимаю, что их можно рассматривать как однозначную функцию из $\mathbb R$ в $\{\mathbb R\}$ (множество множеств, содержащих в качетсве элементов вещественные числа).

Боюсь, что неправильно. Запись $\{\mathbb R\}$ расшифровывается вовсе не так и вообще практически довольно бессмысленна.

caxap в сообщении #320186 писал(а):

3) Вот когда пишется, например, $x=\pi k$, $k\in \mathbb Z$, то значит $x$ -- это множество?.

Это просто общепринятый жаргон. Интерпретируется, например, как $x_k=\pi k$, $k\in \mathbb Z$, после чего индекс просто выкидывается за неинформативностью.

caxap в сообщении #320186 писал(а):

Или например другой пример: интеграл, $\int f(x)dx=F(x)+C$, разве должно быть не $\int f(x)dx=\{F(x)+C\}$?

Должно быть. Но никогда не бывает. По той же причине: жаргон, сокращающий запись без потери полезной информации.

[caxap]

ewert в сообщении #320193 писал(а):

Боюсь, что неправильно. Запись $\{\mathbb R\}$ расшифровывается вовсе не так и вообще практически довольно бессмысленна.

Ну вот рассмотрим тот же $\mathrm{Arcsin}:x\mapsto \{(-1)^n\arcsin x+\pi k,\ k\in\mathbb Z\}$ (кстати, если скобки {} здесь можно опускать, да? Будет типа жаргон?). Т. е. область определения -- множество $\mathbb R$, а область значений -- множество множеств $\mathbb R$ (как записать я это не знаю, $\{\mathbb R\}$ говорите -- не то).

[ewert]

caxap в сообщении #320219 писал(а):

Т. е. область определения -- множество $\mathbb R$, а область значений -- множество множеств $\mathbb R$ (как записать я это не знаю,

Во-первых, везде не $\mathbb R$, а $\mathbb C$ или типа того. Во-вторых, записать как $\mathbb C^{\mathbb Z}$ (множество комплексных последовательностей). Только никто так не записывает, это крайне неудобно. Хотя бы потому, что функции бывают не только бесконечнозначными, но и конечнозначными. Можно выйти из положения, заменив $\mathbb C^{\mathbb Z}$ на $2^{\mathbb C}$, но это совсем уж никуда не годится -- хотя бы потому, что интересны не все подмножества, а только очень-очень специальные, к тому же упорядоченные.

Ещё раз: для корректного определения многозначности приходится вводить понятие римановой поверхности. Ничего не поделаешь.

[caxap]

ewert
Про римановы поверхности, к сожалению, пока нчиего не знаю.
Но вот $\mathrm{Arcsin}$ -- это функция? А $\int$?

[ewert]

caxap в сообщении #320239 писал(а):

Про римановы поверхности, к сожалению, пока нчиего не знаю.

Значит, и думать об этом Вам пока рано.

[Профессор Снэйп]

caxap в сообщении #320186 писал(а):

И правильно ли я понимаю, что их можно рассматривать как однозначную функцию из $\mathbb R$ в $\{\mathbb R\}$ (множество множеств, содержащих в качетсве элементов вещественные числа).
...
У меня в голове большая путанница

Понимаете правильно, а пишете глупость. Действительно большая путаница в голове

$\{ \mathbb{R} \}$ --- это одноэлементное множество (единственным элементом которого является множество действительных чисел). А множество всех подмножеств множества $\mathbb{R}$ обозначается по другому:

$$ \{ X : X \subseteq \mathbb{R} \} = \mathcal{P}(\mathbb{R}) = 2^\mathbb{R} = \mathrm{Bool}(\mathbb{R}) $$

Верно $\{ \mathbb{R} \} \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R})$ и $\{ \mathbb{R} \} \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})$, но ни в коем случае не $\{ \mathbb{R} \} = \mathcal{P}(\mathbb{R})$.