"Посчитать" сумму (асимптотическая оценка)

[Imperator]

Рассмотрим $F(s)=\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{l=1}^\infty\frac{1}{(k^2+l^2)^s}.$
Можно ли ее "упростить" в случаях $s\in \mathbb{R}$ и $s \in \mathbb{C}?$

[Imperator]

Мне нужно знать асимптотики таких сумм:
$\sum\limits_{m=1}^\infty\frac{\cos(2t\ln m)}{m^{2\sigma}},$
$\sum\limits_{k=1}^\infty\sum\limits_{l=1}^\infty\frac{\cos(t\ln(k^2+l^2))}{(k^2+l^2)^{\sigma}},$
где $\sigma\in(0,1), t\in \mathbb{R}.$
Ваши советы, предложения, замечания.

[Полосин]

Замените суммы интегралами.

[Imperator]

А с интегралами что делать?

[Sonic86]

В интегралах переходите к полярным координатам.

[maxal]

Imperator в сообщении #319946 писал(а):

Рассмотрим $F(s)=\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{l=1}^\infty\frac{1}{(k^2+l^2)^s}.$
Можно ли ее "упростить" в случаях $s\in \mathbb{R}$ и $s \in \mathbb{C}?$

Можно свести к произведениям по простым, а потом и к дзета-функции:

$$\sum_{k,l=-\infty\atop (k,l)\ne (0,0)}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} = 4 \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{2^{js}}\cdot \prod_{p\equiv 1\pmod 4} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{j+1}{p^{js}} \cdot \prod_{p\equiv 3\pmod 4} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{p^{2js}}=$$

$$=4 \frac{2^s}{2^s-1} \cdot \prod_{p\equiv 1\pmod 4} \frac{p^{2s}}{(p^s-1)^2} \cdot \prod_{p\equiv 3\pmod 4} \frac{p^{2s}}{p^{2s}-1}=$$

$$=4 \frac{2^s}{2^s-1} \cdot \prod_{p\geq 3} \frac{p^{2s}}{(p^s-1)(p^s - \left(\frac{-1}{p}\right))} = 4\zeta(s)\cdot \prod_{p\geq 3} \frac{p^s}{p^s - \left(\frac{-1}{p}\right)}$$

Если только я нигде не сглючил. В процессе вывода использовалась формула (18) в http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

Последнее произведение (с символом Лежандра) можно выразить через L-функцию Дирихле, причем для $s=1$ она даже сворачивается - см. формулу (29) в http://mathworld.wolfram.com/PrimeProducts.html

-- Wed Jul 14, 2010 10:53:40 --

Ну и для полноты картины нужно еще заметить, что

$$\sum_{k,l=-\infty\atop (k,l)\ne (0,0)}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} = 4 \sum_{k,l=1}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} + 4\zeta(2s)$$

и поэтому

$$\sum_{k,l=1}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} = \zeta(s)\cdot \prod_{p\geq 3} \frac{p^s}{p^s - \left(\frac{-1}{p}\right)} - \zeta(2s).$$