Рассмотрим
![$F(s)=\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{l=1}^\infty\frac{1}{(k^2+l^2)^s}.$ $F(s)=\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{l=1}^\infty\frac{1}{(k^2+l^2)^s}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/1/62138d6d09b4dabbc649f376a19c74c782.png)
Можно ли ее "упростить" в случаях
![$s\in \mathbb{R}$ $s\in \mathbb{R}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/2/1f2d1cc5097c0df5d2db3d7939a2fac782.png)
и
![$s \in \mathbb{C}?$ $s \in \mathbb{C}?$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/4/724d425094d900bfe882238b914c3fd182.png)
Можно свести к произведениям по простым, а потом и к дзета-функции:
![$$\sum_{k,l=-\infty\atop (k,l)\ne (0,0)}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} = 4 \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{2^{js}}\cdot \prod_{p\equiv 1\pmod 4} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{j+1}{p^{js}} \cdot \prod_{p\equiv 3\pmod 4} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{p^{2js}}=$$ $$\sum_{k,l=-\infty\atop (k,l)\ne (0,0)}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} = 4 \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{2^{js}}\cdot \prod_{p\equiv 1\pmod 4} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{j+1}{p^{js}} \cdot \prod_{p\equiv 3\pmod 4} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{p^{2js}}=$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/5/5c58827095a1d066185daf6f222043d382.png)
![$$=4 \frac{2^s}{2^s-1} \cdot \prod_{p\equiv 1\pmod 4} \frac{p^{2s}}{(p^s-1)^2} \cdot \prod_{p\equiv 3\pmod 4} \frac{p^{2s}}{p^{2s}-1}=$$ $$=4 \frac{2^s}{2^s-1} \cdot \prod_{p\equiv 1\pmod 4} \frac{p^{2s}}{(p^s-1)^2} \cdot \prod_{p\equiv 3\pmod 4} \frac{p^{2s}}{p^{2s}-1}=$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/1/a91104487b2e99ea461497de996da04c82.png)
![$$=4 \frac{2^s}{2^s-1} \cdot \prod_{p\geq 3} \frac{p^{2s}}{(p^s-1)(p^s - \left(\frac{-1}{p}\right))} = 4\zeta(s)\cdot \prod_{p\geq 3} \frac{p^s}{p^s - \left(\frac{-1}{p}\right)}$$ $$=4 \frac{2^s}{2^s-1} \cdot \prod_{p\geq 3} \frac{p^{2s}}{(p^s-1)(p^s - \left(\frac{-1}{p}\right))} = 4\zeta(s)\cdot \prod_{p\geq 3} \frac{p^s}{p^s - \left(\frac{-1}{p}\right)}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/4/2b4408d4c8ec6330850349950b9a644682.png)
Если только я нигде не сглючил. В процессе вывода использовалась формула (18) в
http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.htmlПоследнее произведение (с символом Лежандра) можно выразить через L-функцию Дирихле, причем для
![$s=1$ $s=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/6/776f93672423b6ad1b8808ea2f12445282.png)
она даже сворачивается - см. формулу (29) в
http://mathworld.wolfram.com/PrimeProducts.html-- Wed Jul 14, 2010 10:53:40 --Ну и для полноты картины нужно еще заметить, что
![$$\sum_{k,l=-\infty\atop (k,l)\ne (0,0)}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} = 4 \sum_{k,l=1}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} + 4\zeta(2s)$$ $$\sum_{k,l=-\infty\atop (k,l)\ne (0,0)}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} = 4 \sum_{k,l=1}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} + 4\zeta(2s)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/e/c1e0977f62f9f4eb5fd427b094407b0d82.png)
и поэтому
![$$\sum_{k,l=1}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} = \zeta(s)\cdot \prod_{p\geq 3} \frac{p^s}{p^s - \left(\frac{-1}{p}\right)} - \zeta(2s).$$ $$\sum_{k,l=1}^{\infty} \frac{1}{(k^2+l^2)^s} = \zeta(s)\cdot \prod_{p\geq 3} \frac{p^s}{p^s - \left(\frac{-1}{p}\right)} - \zeta(2s).$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/0/c302ac89dc841076a5210248290a85b682.png)