Задача "Линия "погони".

[Imperator]

Кому интересно, может попробовать решить такую задачу из областной олимпиады 2005 года.

Условие задачи:
Хозяин собаки стоит на перекрестке двух взаимно перпендикулярных дорог, а его собака -
на одной из дорог на расстоянии $a$ от перекрестка. Поразмыслив, хозяин пускается в путь
по одной дороге со скоростью $v$, а собака устремляется к нему со скоростью $2v$,
направленной в каждый момент времени по прямой, соединяющей ее мгновенное положение
с мгновенным положением хозяина.
Определить кривую, описываемую собакой (линию "погони").

[Capella]

Это наверняка будет парабола. У меня была похожая задачка по дифф гео: даны оси $x, y, z$ и две точки. Одна точка лежит в (0,0,0) и будет двигаться по положительной оси $z$, а вторая точка лежит на оси $y$ и имеет координаты (0,а,0). Эта точка будет двигаться параллельно оси $x$. Надо было показать, что прямые соединяющии обе точки, образуют регулярную поверхность.

[Sasha2]

А может ли что-нибудь дат такое рассуждение:
Собака двигается по палке со скоостью 2v, один конец которой поднимается вверх со скоростью v ?

[Someone]

Sasha2 писал(а):

А может ли что-нибудь дат такое рассуждение:
Собака двигается по палке со скоостью 2v, один конец которой поднимается вверх со скоростью v ?

Нет. Скорость (относительно хозяина и относительно Земли) собаки, бегущей по движущейся палке, отличается от скорости собаки, бегущей по полю.

[Sasha2]

Так один этот конец палки, который движется со скоростью v, и представляет собой хозяина, движещегося с этой скоростью.

[незваный гость]

Эта задача решается в общем случае как $x(y)$, причем функция не выглядит обратимой (в компактной форме). При соотношении скоростей $\frac{v_\text{соб}}{v_\text{хоз}}=2$ имеем $x(y) = \frac{a}{3}\left(2 - 3 \sqrt\frac{y}{a}+(\frac{y}{a})^{3/2}\right)$. Собака догоняет хозяина в точке $x = \frac{2a}{3}$, через $t = \frac{2a}{3v_\text{хоз}}$.

[DMVN]

Считать скучновато, а вообще система дифуров легко пишется. Если считать, что (x,y) - координаты собаки, то у нас есть условие $\dot x^2 + \dot y^2 = 4v^2$, а движение хозяина описывается функциями $(x_0(t),y_0(t)) = (0, vt)$. ну вот, при этом есть условие, что прямая $(x+\lambda\dot x , y + \lambda \dot y)$ всегда проходит через точку $(x_0,y_0)$. Это даёт второй дифур:
$x + \lambda \dot x = 0$, откуда $\lambda = -\frac{x}{\dot x}$, приравниваем, получаем уравнение $y -\frac{x}{\dot x} \dot y = v t $.
С начальными условиями проблем нет. Остаётся посчитать... Уфф. Не в этой жизни.

А, ну да... Незваный гость опередил... Спасибо. Интересно, наврал ли я в выкладках.

[Someone]

Sasha2 писал(а):

Так один этот конец палки, который движется со скоростью v, и представляет собой хозяина, движещегося с этой скоростью.

Когда собака бежит по движущейся палке, их скорости складываются. А когда собака бежит по полю, её скорость ни с чем не складывается.

[OlegMN]

незваный гость
А Вы н могли бы выложить решение по-подробнее? Интересно всё-таки.

[Mopnex]

Хотелось бы ещё раз приподнять эту тему, так как в интернете есть несколько мест, где выложена формула траектории, но ни слова о методе решения системы дифуров. Может быть кто-нибудь знает как её решить?

На всякий случай запишу её в общем виде здесь:

$\mathbf{V}$ - скорость цели
x,y - координаты догоняющей точки, $\mathbf{v}$ - её скорость
x.y с точками - производные по времени

$ \frac y {\mathbf{V}t-x}$ $ = \frac {dy} {dx} $

$ \dot \ x^2 + \dot \ y^2 = {\mathbf{v}}^2 $

[Sergic Primazon]

Mopnex писал(а):

Хотелось бы ещё раз приподнять эту тему, так как в интернете есть несколько мест, где выложена формула траектории, но ни слова о методе решения системы дифуров. Может быть кто-нибудь знает как её решить?

На всякий случай запишу её в общем виде здесь:

$\mathbf{V}$ - скорость цели
x,y - координаты догоняющей точки, $\mathbf{v}$ - её скорость
x.y с точками - производные по времени

$ \frac y {\mathbf{V}t-x}$ $ = \frac {dy} {dx} $

$ \dot \ x^2 + \dot \ y^2 = {\mathbf{v}}^2 $

Пусть заяц бежит по прямой со скоростью U = const , а лиса догоняет зайца со скоростью V = const. Вектор скорости лисы всегда направлен на зайца . В начальный момент скорость лисы перпендикулярна скорости зайца.
Перейдем в систему координат связанную с зайцем. Тогда уравнение движения лисы в системе координат связанной с зайцем :
$ r\frac {d\varphi}{dt} = U* cos(\varphi)$

$ \frac {d{r}}{dt} = -V + U* sin(\varphi) $

где r - радиус вектор лисы ; $ {\varphi}$ - угол между нормалью к прямой и r ; Решение этой системы : $ r(\varphi)= \frac {ro} {cos(\varphi)tg^{\alpha}{({\varphi}/2}+{\pi}/4)} $ - кривая погони в системе координат связанной с зайцем; где $ {ro}$ - начальное расстояние между животными; $ {\alpha} = V/U $;
Лиса догоняет зайца при $ {\alpha} >1 , {\varphi}= {\pi}/2$;
Интересно что при $ {\alpha} = 1 $ лиса приблизится к зайцу на расстояние ro/2;

Зависимость для времени следующая : $ t(\varphi)= \frac {ro}{ U{({\alpha}^2-1})}}(\alpha - {({\frac{ 1-sin(\varphi) } {cos(\varphi)}}})} ^{\alpha} {({ \frac{{\alpha}+sin(\varphi)}{cos(\varphi)} })})$;

т.е. время за которое лиса догонит зайца : Т = $ t({\pi}/2) = \frac{{roV}}{V^2-U^2}$;

[maxal]

Вспомнилась известная открытая проблема о перемещении дивана

[Joe Black]

Sergic Primazon в сообщении #114422 писал(а):

Mopnex писал(а):

Хотелось бы ещё раз приподнять эту тему, так как в интернете есть несколько мест, где выложена формула траектории, но ни слова о методе решения системы дифуров. Может быть кто-нибудь знает как её решить?

На всякий случай запишу её в общем виде здесь:

$\mathbf{V}$ - скорость цели
x,y - координаты догоняющей точки, $\mathbf{v}$ - её скорость
x.y с точками - производные по времени

$ \frac y {\mathbf{V}t-x}$ $ = \frac {dy} {dx} $

$ \dot \ x^2 + \dot \ y^2 = {\mathbf{v}}^2 $

Пусть заяц бежит по прямой со скоростью U = const , а лиса догоняет зайца со скоростью V = const. Вектор скорости лисы всегда направлен на зайца . В начальный момент скорость лисы перпендикулярна скорости зайца.
Перейдем в систему координат связанную с зайцем. Тогда уравнение движения лисы в системе координат связанной с зайцем :
$ r\frac {d\varphi}{dt} = U* cos(\varphi)$

$ \frac {d{r}}{dt} = -V + U* sin(\varphi) $

где r - радиус вектор лисы ; $ {\varphi}$ - угол между нормалью к прямой и r ; Решение этой системы : $ r(\varphi)= \frac {ro} {cos(\varphi)tg^{\alpha}{({\varphi}/2}+{\pi}/4)} $ - кривая погони в системе координат связанной с зайцем; где $ {ro}$ - начальное расстояние между животными; $ {\alpha} = V/U $;
Лиса догоняет зайца при $ {\alpha} >1 , {\varphi}= {\pi}/2$;
Интересно что при $ {\alpha} = 1 $ лиса приблизится к зайцу на расстояние ro/2;

Зависимость для времени следующая : $ t(\varphi)= \frac {ro}{ U{({\alpha}^2-1})}}(\alpha - {({\frac{ 1-sin(\varphi) } {cos(\varphi)}}})} ^{\alpha} {({ \frac{{\alpha}+sin(\varphi)}{cos(\varphi)} })})$;

т.е. время за которое лиса догонит зайца : Т = $ t({\pi}/2) = \frac{{roV}}{V^2-U^2}$;

Подскажите как изменятся уравнения если в начальный момент лиса находится позади зайца и соответственно вектор её скорости на перпендикулярен вектору скорости зайца?