Бесконечные произведения

[VTV]

Равняются ли нулю следующие произведения:
$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1+e^{i\pi/2^k}}{2}$ и $\prod_{k=1}^{\infty}\cos\frac{\pi/2}{p_{k+1}}$, $p_n$ --- $n-$тое простое число.

[ИСН]

Второй сходится к чему-то конечному по той же причине, что и $\prod\limits_1^\infty\left(1-{1\over p_k^2}\right)$.
Первый внимательно не смотрел, но вроде должен делать то же самое, даже ещё быстрее.

[VTV]

Для меня является принципиальным вопрос сходятся ли они к нулю или к чему-то другому.

[ewert]

Для сходимости к нулю нужно, чтобы ряд из логарифмов расходился. А он довольно-таки очевидно сходится в обоих случаях.

[VTV]

ewert в сообщении #320041 писал(а):

Для сходимости к нулю нужно, чтобы ряд из логарифмов расходился.

Это понятно, но сходимость рядов из логарифмов для меня не совсем очевидна.

[ИСН]

Значит, поверьте на слово. Оба сходятся не к нулю; первый можно даже вычислить точно.

[ewert]

VTV в сообщении #320087 писал(а):

Это понятно, но сходимость рядов из логарифмов для меня не совсем очевидна.

Очевидна:

$-\ln\cos\frac{\pi/2}{p_{k+1}}\sim-\ln(1-{1\over2}(\frac{\pi/2}{p_{k+1}})^2)\sim{1\over2}(\frac{\pi/2}{p_{k+1}})^2<{\mathrm{const}\over k^2}$,

а ряд из обратных квадратов сходится. Другой ряд, как метко заметил ИСН -- ещё круче.

[VTV]

У меня получается
$\frac{1+e^{i\pi/2^k}}{2}=\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}e^{i\pi/2^{k+1}}$
и следовательно
$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1+e^{i\pi/2^k}}{2}=e^{i\pi/2}\prod_{k=1}^{\infty}\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}$
Правильно ли это и что делать из $\prod_{k=1}^{\infty}\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}$?

Извеняюсь, уже понял что делать

[ewert]

$$2^n\sin{\pi\over2^{n+1}}\cdot\prod\limits_{k=1}^n\cos{\pi\over2^{k+1}}=\ldots=\sin{\pi\over2}$$

и, следовательно, ...

[VTV]

Спасибо

[RIP]

VTV в сообщении #320018 писал(а):

Для меня является принципиальным вопрос сходятся ли они к нулю или к чему-то другому.

произведение не может сходиться к нулю. если предел частичных произведений равен нулю, то бесконечное произведение по определению расходится (иногда уточняют: расходится к нулю). для бесконечных произведений с аналитическими функциями определение немножко корректируют.