Он сходится условно по Дирихле, но вот почему расходится ряд из модулей не знаю
Этого никто толком не знает. В принципе -- потому, что модули синусов распределены более-менее равномерно. Что довольно нетривиально, хотя по существу всем и очевидно. Однако же доказывать это
формально -- некоторая морока. Нехорошо такие задачки детям давать (в рамках курса
собственно рядов).