Абсолютная сходимость ряда

[Jerich]

Нужно исследовать на абсолютную сходимость $\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(k)}{k}$. Он сходится условно по Дирихле, но вот почему расходится ряд из модулей не знаю

-- Сб май 15, 2010 18:38:32 --

$|\sin(k)|\geqslant\sin^2(k)=(1-\cos(2k))/2$ Тогда надо проверить что сходится ряд $\cos(2k)/(2k)$

[ewert]

Jerich в сообщении #319663 писал(а):

Он сходится условно по Дирихле, но вот почему расходится ряд из модулей не знаю

Этого никто толком не знает. В принципе -- потому, что модули синусов распределены более-менее равномерно. Что довольно нетривиально, хотя по существу всем и очевидно. Однако же доказывать это формально -- некоторая морока. Нехорошо такие задачки детям давать (в рамках курса собственно рядов).

[Jerich]

Все сделал, опять Дирихле к ряду из $\cos(2k)/k$, а гармонический расходится. Надо заметить $\cos(2k)=\frac{\sin(2K+1)-\sin(2k-1)}{2\sin(1)}$, а дальше все просто