Условие на единственность решения операторного уравнения

[fish-ka]

Требуется показать следующее:
Уравнение $A^*f=0$ имеет единственное решение тогда и только тогда когда $\overline{Im A}=Y$
$A:X\to Y, \quad A^*:Y^* \to X^*$ - сопряженный оператор, то есть такой, что $A^*f(x)=f(Ax)$.
Пользуюсь такой теоремой: если А - линеен и ограничен, то
$\overline{Im A}=\bigcap\limits_{f\in Y^*: A^*f=0} Ker f$.
Тогда: если уравнение $A^*f=0$ имеет единственное решение, то $\exists !\quad f_1\in Y^*: \quad A^*f_1=0 $ и $\overline{Im A}=Ker f_1=\{y\in Y: f_1(y)=0\}$, значит $\overline{Im A}\subset Y$.
Помогите доказать включение в другую сторону, пожалуйста.

[CowboyHugges]

Предположите противное, что существует такой элемент в $Y$ что $y \notin \overline{ImA}$. Тогда по следствию из теоремы Хана-Банаха можно построить такой ненулевой функционал $g$, что $g(x)=0\ \forall x\in \overline{ImA}$, а это будет противоречить однозначной разрешимости сопряженного уравнения.