Найти функцию по частным производным

[msugakov]

Известны

\[\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial x}} = {g_1}(x,y)\]

и

\[\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial y}} = {g_2}(x,y)\]

Как найти $f(x,y)$?

[lel0lel]

Интегрированием.

[ewert]

Последовательными интегрированиями. Сперва проинтегрируйте первое равенство по иксам при фиксированном игреке. Получите некое выражение для той функции, содержащее некую неизвестную функцию $A(y)$ (как произвольную постоянную того интегрирования). Потом продифференцируйте уже полученное равенство теперь уж по игрекам -- получите уравнение на производную $A'(y)$. И если то уравнение будет содержать хоть какие-то иксы -- значит всё, приплыли, задача некорректна (ну или в промежуточнох выкладках ошибка).

[msugakov]

Спасибо! Всё сошлось

[paha]

точно сошлось?

Любопытно: покажите Ваш пример

[msugakov]

\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{ (x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]

\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{ y}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]

Интегрируем первое

\[f = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) + C\]

Второе - то же самое

[ewert]

msugakov в сообщении #319184 писал(а):

Второе - то же самое

Неверная логика. Вот пример: $\dfrac{\partial f}{\partial x}=y+1,\quad\dfrac{\partial f}{\partial y}=x+1$. Интегрируем одно -- получаем одно, интегрируем другое -- получаем совсем другое. А ведь задача-то между тем корректна.

[msugakov]

ewert в сообщении #319188 писал(а):

Неверная логика.

Результат интегрирования второй формулы - такой же как и первой. Разве нет?
Как выяснил, это подзадача сопряжения гармонической функции и потому корректна.

[gris]

Вопрос к ewertу по поводу его уравнений. Как-то сразу вплыло в голове $f=xy+x+y+c$.
А что там может получится, если интегрировать по разному и в чём прикол? Или я просто ещё не проснулся (С)?

[ewert]

Прикол в том, что автору (его авторским методом) -- решить эту задачу не удастся. У него просто ответы не сойдутся, вот ведь несчастье-то какое.

[paha]

Ну, проинтегрируйте уже форму ${\rm d}f$ по любой кривой, ведущей из фиксированной точки в точку $(x,y)$

[msugakov]

ewert в сообщении #319201 писал(а):

У него просто ответы не сойдутся, вот ведь несчастье-то какое.

Трагедия! Ну не поленитесь написать, пожалуйста, применение Вашего метода на данной задаче.

paha в сообщении #319229 писал(а):

Ну, проинтегрируйте уже форму ${\rm d}f$ по любой кривой, ведущей из фиксированной точки в точку $(x,y)$

Вот эту?

\[{\rm d}f=\frac{{(x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dx + \frac{y}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dy\]

Как? :)

[paha]

msugakov в сообщении #319253 писал(а):

Как? :)

что такое кривая знаете? Это $(x(t),y(t))$

А то, что результат интегрирования не зависит от пути... поймите, почему так)

[msugakov]

\[\int\limits_{({x_0},{y_0})}^{(x,y)} {\frac{{(x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dx + \frac{y}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dy} = \]

\[ = \int\limits_{{x_0}}^x {\frac{{(x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + y_0^2} \right)}}dx} + \int\limits_{{y_0}}^y {\frac{y}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dy} = \]

\[ = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + y_0^2} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2} \right) + \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + y_0^2} \right) = \]

\[ = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2} \right).\]

Что это значит?

[ewert]

msugakov в сообщении #319280 писал(а):

Что это значит?

Пока что -- ничего. Пока что неизвестно, каким будет получаться этот интеграл после интегрирования по всем другим путям.