инвариантность метрики относительно перестановок

[rishelie]

Пусть имеются три перестановки множества $\{1,\dots,n\}$: $\varphi,\psi,\pi$. Пусть $R(x,y)$ - метрика на векторах размерности $n$.
Вопрос - существуют ли нетривиальные метрики $R$, инвариантные относительно преобразований $\pi$ над векторами $\varphi$ и $\psi$?
То есть какова метрика $R$, удовлетворяющая равенству

$$R(\varphi,\psi)=R(\pi\cdot\varphi,\pi\cdot\psi)$$

(точка обозначает суперпозицию или произведение перестановок) для любых перестановок $\varphi,\psi,\pi$?
Под тривиальной метрикой $R$ я понимаю такую, которая дает количество различий в значениях координат векторов, т.е. величину $|\{i:\;\varphi_i\ne\psi_i\}|$.

[AlexDem]

Если $R$ не различает порядок координат (например - нечто подобное скалярному произведению, как было в удалённом первоначальном сообщении), то $\pi$ - любая биекция. Если $R$ различает порядок, то соблюдение равенства вроде бы невозможно - расстояние между функциями, пересекающимися "крестиком", при перестановке координат может остаться неизменным, в то время как другие расстояния изменятся.