Взглянем на ситуацию со стороны общего понятия универсальной функции. Где-то я его уже вводил, но лучше ввести ещё раз. Вреда не будет.
Пусть

--- класс функций из

в

. Пусть

--- функция из

в

. Для

и

вместо

будем также писать

. Чаще всего эту запись будем использовать для случая, когда аргумент

фиксирован,

меняется, "пробегая" множество

и функция рассматривается как функция из

в

. В частности, для каждого

корректна запись

.
Скажем, что функция

является
универсальной функцией для класса

, если

.
Ясно, что для каждого множества

функций из

в

существует универсальная функция

в случае, если

. Поскольку непрерывных функций из

в

всего континуум, то существует универсальная функция для класса всех одноместных непрерывных функций с

.
Вопросы о существовании универсальной функции с различными дополнительными свойствами более интересен. Так, например, выше было доказано, что не существует универсальной
непрерывной функции для класса всех одноместных непрерывных функций. Могу накинуть ещё несколько похожих задач:
a) Доказать, что не существует универсальной функции-многочлена от двух переменных (то есть функции из
![$\mathbb{R}[x,y]$ $\mathbb{R}[x,y]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/e/66e752ecdd4582d9119fd3bde80a31b682.png)
) для класса
![$\mathbb{R}[x]$ $\mathbb{R}[x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/5/f15addcc8ab3f7f3bd7b44966280b59582.png)
всех функций-многочленов от одной переменной.
b) Доказать, что существует универсальная
непрерывная функция для класса
![$\mathbb{R}[x]$ $\mathbb{R}[x]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/5/f15addcc8ab3f7f3bd7b44966280b59582.png)
всех функций-многочленов от одной переменной.
c) Выяснить, существует ли универсальная непрерывная функция

для класса всех непрерывных функций из

в

от одной переменной, у которой

(то есть

не обязательно континуально, а если даже континуально, то топология на

не гомеоморфна стандартной топологии на действительной прямой).
-- Пт май 14, 2010 00:51:08 --P. S. Н-да, пункт (c), конечно же, можно решить, введя на

дискретную топологию. Так что лучше спросить, какую слабейшую топологию на

нужно задать для того, чтобы существовала универсальная непрерывная функция.
Пункт (a) ваще очевиден; там, помимо диагонали, можно рассматривать степени многочленов.
А вот пункт (b) интересен
