2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория вероятностей. Бернуллиевская величина. Интуиция
Сообщение10.07.2006, 23:26 


10/07/06
2
Всем добрый! Исследование вот этой задачки пока привело меня к тупику, а вещь нужная для сотен или даже тысяч людей.
Имеется дискретная случайная величина, которая принимает значение 0 или 1. Причем события равновероятны. Допустим, мы угадываем эти величины. При большом числе событий N возможны 3 предельных варианта:
1) не угадано ни одного события, число успеха равно 0.
2) угаданы все события, число успеха равно N.
3) угадываемые значения также случайны, число успеха равно $ \frac{N}{2}$
Пояснение: Так как исходные события равновероятны, согласно теореме Бернулли числа появлений событий 0 и 1 будут стремиться к $ \frac{N}{2}$ при большом числе событий. Соответственно и число успеха будет стремиться к $ \frac{N}{2}$. Это вроде понятно.
Вопрос:
А теперь уберем условие равновероятности. Вероятность неизвестна и лишь примерно равна 0.5. К чему может стремиться число успеха в вышеперечисленных 3х вариантах?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.07.2006, 05:33 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Поясните, каким образом происходит угадывание. Если это также последовательность случайных величин, независимая от исходной, то обозначим через $\xi$ то, что мы хотим угадать, через $\eta$ - наше решение, пусть их распределения имеют вид

$P\{\xi=0\}=p_0$, $P\{\xi=1\}=p_1$, $p_0+p_1=1$,

$P\{\eta=0\}=q_0$, $P\{\eta=1\}=q_1$, $q_0+q_1=1$,

тогда вероятность угадать равна

$P\{\xi=\eta\}=p_0q_0+p_1q_1$.

В частности, если $q_0=q_1=1/2$, то вероятность угадать также равна $1/2$ независимо от значений $p_0$ и $p_1$, т.е. в среднем мы будем угадывать опять-таки половину.

Можете рассчитать, каким должны быть вероятности $q_i$ при известных $p_i$, чтобы вероятность была максимальна. Это легкое упражнение.

Пункты 1 и 2 рассматривать бессмысленно. Поскольку угадывание все равно носит элемент случайности, то есть положительная вероятность угадать и не угадать. При большом числе опытов любое даже маловероятное событие рано или поздно произойдет, а значит, с высокой вероятностью можно утверждать, что будет хотя бы один успех и хотя бы одна неудача.

Более полезным выглядит случай, когда угадывание зависит от данной последовательности. Но чтобы исследовать его математически, нужно тогда задать совместное распределение величин $\xi$ и $\eta$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.07.2006, 10:41 


21/03/06
1545
Москва
Цитата:
Более полезным выглядит случай, когда угадывание зависит от данной последовательности.


Встречал в инете программку heshby, которая заманчиво подходит под Ваши условия. Попробуйте поискать сайт автора, т.к. та ссылка что у меня есть - устарела. Она очень неплохо справляется с угадыванием последовательностей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 21:00 


10/07/06
2
PAV писал(а):
Поясните, каким образом происходит угадывание. Если это также последовательность случайных величин, независимая от исходной, то обозначим через $\xi$ то, что мы хотим угадать, через $\eta$ - наше решение, пусть их распределения имеют вид тогда вероятность угадать равна
$P\{\xi=\eta\}=p_0q_0+p_1q_1$. Это последовательность случайных бинарных величин, RND-генератор. Именно его неидеальность порождает вопрос для исследования 1.
В частности, если $q_0=q_1=1/2$, то вероятность угадать также равна $1/2$ независимо от значений $p_0$ и $p_1$, т.е. в среднем мы будем угадывать опять-таки половину.
Утверждать можно только про вероятность p_i. Она - более-менее достоверна (RND).
PAV писал(а):
Можете рассчитать, каким должны быть вероятности $q_i$ при известных $p_i$, чтобы вероятность была максимальна. Это легкое упражнение.
Это скорее нужно к след.задачке на 3 варианта событий :)
PAV писал(а):
Более полезным выглядит случай, когда угадывание зависит от данной последовательности. Но чтобы исследовать его математически, нужно тогда задать совместное распределение величин $\xi$ и $\eta$.
Задача - именно выяснить и оценить, насколько угадывание зависит от последовательности. Фактически это - оценить интуицию, т.е. при каком проценте угадываний из n опытов какая интуиция.

Вот то, к чему пришел я:
Изображение
Событие U (угадывание) появится в результате n опытов (ось х) m раз. Соответственно угадываемость U% - величина m/n - будет отображаться синей точкой (кстати, данные реальные). Но это еще не интуиция :)
Линии - интегралы вероятности Гаусса. С достоверностью p=0.5 (50%) угадываемость будет лежать в пределах красной линии достоверности. С p=0.99 (99%) угадываемость будет лежать в пределах зеленой линии достоверности. С p=1-10^-5 (в 99999 случаях из 100000) угадываемость будет лежать в пределах синей линии достоверности, именно она и является максимально разумным пределом, за которым - только интуиция.
Получили качественную оценку. Но как теперь количественно оценить эту самую интуицию?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group