Про остатки формулы Тейлора

[caxap]

В форме Пеано ост. члена $R_n=o((x-x_0)^n)$.
В форме Лагранжа $R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-\xi)^{(n+1)}$, котороую можно записать как $=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}o((x-\xi)^n)$.
Верно ли я понимаю, что $o((x-x_0)^n)\sim o((x-\xi)^n)$ (эквиваленты)? Если да, то будет встречный вопрос.

PS: всё рассматривается при $x\to x_0$.

[AD]

Ну да. Форма Лагранжа точнее, чем форма Пеано, но требует больше условий на функцию, чтобы быть верной.

[caxap]

AD в сообщении #317984 писал(а):

Ну да.

А если так, то сравнивая обе формы:

$$\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}o((x-\xi)^n)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}o((x-x_0)^n)$$

$$o((x-x_0)^n)$$

можно сделать вывод, что $f^{(n+1)}(\xi)$ должна быть ограничена (иначе бы её произведение на бескончено малую не было бы уже бесконечно малой). Или нет?

[AD]

Могу лишь Вам посоветовать почитать формулировки соответствующих теорем. В них уже сразу есть условия на $f$.

Ответ сходу - нет, не факт. У нас же $\xi=\xi(x)$ не все значения пробегает. Может, $f^{(n+1)}$ неограничена, но все $f^{(n+1)}(\xi)$ ограничены при всех $x$.

P.S.

Цитата:

иначе бы её произведение на бескончено малую не было бы уже бесконечно малой

А вот это уже совсем глупость какая-то. $x^2\cdot\frac1x$ бесконечно мало при $x\to0$.

[caxap]

AD в сообщении #317994 писал(а):

Могу лишь Вам посоветовать почитать формулировки теоремы. В них уже сразу есть условия на $f$.

Почитал. Там сказано, что $f$ должна иметь $n+1$-ю производную везде внутри интервала с концами $x_0$ и $x$. И всё. Это из Зорича, теорема 2 в параграфе про формулу Тейлора.

AD в сообщении #317994 писал(а):

но все $f^{(n+1)}(\xi)$ ограничены при всех $x$.

Т. е. это факт? Т. е. только из сравнения двух форм ост. членов мы можем смело утверждать, что $f^{(n+1)}(\xi)$ не может быть неограниченной?

[AD]

Она может быть неограниченной. См. $f(x)=x^2\sin\frac1{x^2}$, $f(0)=0$, $n=0$, $x_0=0$. Ну или в таком духе.

caxap в сообщении #317997 писал(а):

Т. е. это факт? Т. е. только из сравнения двух форм ост. членов мы можем смело утверждать, что $f^{(n+1)}(\xi)$ не может быть неограниченной?

Нет, не можем, потому что эти формы говорят гораздо меньше, чем Вам кажется (см. также концовку предыдущего сообщения). Чувствуется, что Вы еще путаетесь в $o$-символике. И вообще, постарайтесь пока её не применять в таких местах. Здесь всё достаточно запутанно, всё от всего зависит, куча кванторов, поэтому можно и глупость какую-нибудь получить

[ewert]

caxap в сообщении #317977 писал(а):

В форме Лагранжа $R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-\xi)^{(n+1)}$, котороую можно записать как $=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}o((x-\xi)^n)$.

Это какая-то категорически неправильная форма Лагранжа (не берусь так сходу сказать, что формально неправильная, но уж точно нестандартная и никому не нужная). В стандарте сказано так: $R_n=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}$. А уж из этого следует и Пеано, и всякие там "О"-большие, и всё что хошь полезное.

(хотя, конечно, для более слабых полезностей Лагранж формально не нужен)

[caxap]

AD в сообщении #317998 писал(а):

Чувствуется, что Вы еще путаетесь в $o$-символике.

Я её понимаю, как в Зориче написано. Т.е. $f=o(g)$, если финально при, скажем, $x\to a$ выполнено $f(x)=\alpha(x)g(x)$, где $\alpha(x)$ -- бесконечно малая при $x\to a$. О-больше -- это то же почти, только альфа уже не б.м., а ограниченная функция. $f\sim g$ -- когда $\alpha\to 1$. (Я привёл по памяти, как помню, может где-то что-то напутал. Извините сразу). Или эти определения несколько отличаются от "общеупотребительных"? Ещё я видел вот такое: $f=O^*(g)$. Что это значит?

ewert в сообщении #318044 писал(а):

Это какая-то категорически неправильная форма Лагранжа

Да-да, ошибся... Но по сути ничего не меняет.

ewert в сообщении #318044 писал(а):

А уж из этого следует и Пеано

Странно, потому что в том же Зориче форма Пеано доказывается отдельно от всех остальных и указано, что в большинстве случаев она действительно явл. частным случаев форм Лагранжа и т.п. (подозревая, что это "большинство случаев" -- когда производная ограничена).

[AD]

caxap в сообщении #318106 писал(а):

Или эти определения несколько отличаются от "общеупотребительных"?

Всё нормально, только поймите теперь, что когда мы пишем $f(x)=o(x^2)$ и $g(x)=o(x^2)$, это еще не означает, что $f$ и $g$ одного порядка малости.

caxap в сообщении #318106 писал(а):

Ещё я видел вот такое: $f=O^*(g)$. Что это значит?

Подозреваю, что $g=o(f)$. Похоже?

caxap в сообщении #318106 писал(а):

Странно, потому что в том же Зориче форма Пеано доказывается отдельно от всех остальных и указано, что в большинстве случаев она действительно явл. частным случаев форм Лагранжа и т.п. (подозревая, что это "большинство случаев" -- когда производная ограничена).

Специально скачал Зорича и перечитал, что он пишет. Форма Пеано выводится в существенно более слабых предположениях, о чём я с самого начала и твердил.

[Xaositect]

AD в сообщении #318112 писал(а):

caxap в сообщении #318106 писал(а):

Ещё я видел вот такое: $f=O^*(g)$. Что это значит?

Подозреваю, что $g=o(f)$. Похоже?

Если мне не изменяет память, это когда $f(x) = p(x)g(x)$, где $\lim p(x) = c\neq 0$. А то, что у AD - это $f = \omega(g)$

[ewert]

caxap в сообщении #318106 писал(а):

Я её понимаю, как в Зориче написано.

Мало ли чего там в Зоричах накарябано. Важно не что в Зоричах, а что -- по существу.

[AD]

Ну так в Зоричах-то как раз всё по существу накарябано

[ewert]

Зоричей не читал, но скажу; как-то у них чересчур пижонисто. Ну не пытаются они предугадать даже, что им через полпараграфа понадобится. Не интересно им это. Им интересна формализация курса, а нужно им это, не нужно -- им это не интересно. И уж совсем не интересно им то быдло, которое ихнее творение потом будет читать. Им интересно самовыразиться.

Вот такое осчустчение сложилося.

[caxap]

ewert
А мне учебник очень даже нравится. Вот скажем с объяснением (post318106.html#p318106) o/O символики там какие недостатки?
Я почитал про неё специально в других учебниках и показалось там несколько сложней и интуитивно меньше понятей -- через пределы (которые либо константе равны, либо 0...), либо в стиле $|f(x)|\leq C|g(x)|$, а с неравенставми и пределами сложнее работать, чем с равенствами. По-моему с определениями Зорича проще. Напр. сразу видно, что $f\sim g\Rightarrow f=g+o(g)$ (первое значит, что финально при, пускай, $x\to a$ выполнено $f(x)=\gamma(x)g(x)$, где $\gamma\to 1$, т.е. $\gamma(x)=1+\alpha(x)$, $\alpha(x)\to 0$, откуда и следует правая часть.). Или всякие штуки типа $o(f)+o(f)=o(f)$, $o(f)=O(f)$ и т.п. а вот через определения через предел и др. так не сразу очевидно.

Ну это только пример. Я учебник не рекламирую, но сам я ничего плохого там не заметил. А лишняя строгость не помешает.

ewert в сообщении #318171 писал(а):

Ну не пытаются они предугадать даже, что им через полпараграфа понадобится.

По-моему, там всё наоборот. Из-за того, что постоянно готовят к будущему, в некоторых местах совершенно непонятно становится, зачем это в данный момент обсуждается.