Задача не из простых

[VSSISTU]

Доказать, что существует такая константа c, что для любой непрерывно дифференцирцемой в n-мерном пространстве $ R^n $, абсолютно интегрируемой по $ R^n $ функции $ f(x), x=( x_1 , ... , x_n ) $все частные производные первого порядка которой ограничены, имеет место неравенство

$$ sup_{x \in R^n} \left| f(x) \right| \leqslant c( sup_{x \in R^n} \left| \triangle f(x) \right|)^\frac{n}{(n+1)} (\int\limits_{R^n}^{ } \left| f(x) \right| dx)^\frac{1}{(n+1)} $$

Найти наименьшую такую константу с

[VSSISTU]

Вот решение:
$ Пусть sup_{x \in R^n} \left| \triangle f(x) \right| = k $и возьмем произвольное x_0 \in R^n, тогда для любого x_0 \in R^n :
$ f(x)=f(x_0 ) + \int\limits_{0}^{1} \frac{d}{dt} f(x_0 + t(x-x_0 )) dt = f(x_0 ) + \int\limits_{0}^{1} (\triangle f(x_0 + t(x-x_0 )), x - x_0 ) dt $
откуда \left| f(x) \right|\geqslant \left| f(x_0 ) \right| -k\left| x - x_0 \right| Интегрируя последнее неравенство по шару \left| x - x_0 \right| < \left| f(x_0 ) \right|/k получим $ \int\limits_{R^n}^{ } \left| f(x) \right| dx\geqslant \int\limits_{\left| x - x_0 \right| < \left| f(x_0 ) \right|/k}^{ } \left| f(x) \right| dx\geqslant \left| f(x) \right|\frac{\omega_n}{n+1} (\frac{\left| f(x_0 ) \right|}{k})^n $ Где \omega_n - обьем n-мерного единичного шара, откуда и вытекает требуемое неравенство при c = ((n+1)/\omega_n)^\frac{1}{(n+1)} .

[Brukvalub]

VSSISTU писал(а):

Вот решение:
$ Пусть sup_{x \in R^n} \left| \triangle f(x) \right| = k $и возьмем произвольное x_0 \in R^n, тогда для любого x_0 \in R^n :
$ f(x)=f(x_0 ) + \int\limits_{0}^{1} \frac{d}{dt} f(x_0 + t(x-x_0 )) dt = f(x_0 ) + \int\limits_{0}^{1} (\triangle f(x_0 + t(x-x_0 )), x - x_0 ) dt $
откуда \left| f(x) \right|\geqslant \left| f(x_0 ) \right| -k\left| x - x_0 \right| Интегрируя последнее неравенство по шару \left| x - x_0 \right| < \left| f(x_0 ) \right|/k получим $ \int\limits_{R^n}^{ } \left| f(x) \right| dx\geqslant \int\limits_{\left| x - x_0 \right| < \left| f(x_0 ) \right|/k}^{ } \left| f(x) \right| dx\geqslant \left| f(x) \right|\frac{\omega_n}{n+1} (\frac{\left| f(x_0 ) \right|}{k})^n $ Где \omega_n - обьем n-мерного единичного шара, откуда и вытекает требуемое неравенство при c = ((n+1)/\omega_n)^\frac{1}{(n+1)} .

Не могли бы Вы пояснить справедливость самого последнего неравенства в Ваших выкладках, поскольку мне непонятно оно само по себе, а также его связь с предыдущей оценкой:\left| f(x) \right|\geqslant \left| f(x_0 ) \right| -k\left| x - x_0 \right| . Кроме того, для меня осталось непонятным, почему найденная Вами константа - наилучшая?