Первообразная функции

[altro]

Пожалуйста помогите разобраться: вопрос существования первообразной у разрывной функции.

[malin]

$F(1/x)$ = $ln|x| + C$

[altro]

Это частный случай. Намного интереснее и непонятно общее решение. Например, функция Дирихле имеет первообразную. А какие функции тогда не имеют? Замечу, вопрос стоит о существовании первообразной, а не о её рациональной выразимости.

[ИСН]

Которые не интегрируемы, те и не имеют. А что?

[ewert]

altro в сообщении #317801 писал(а):

вопрос существования первообразной у разрывной функции.

Разрывность функции сама по себе не препятствует её интегрированию. Типичный пример -- функция $f(x)=\mathrm{sign}(x)$, которая прекрасно интегрируема во всех смыслах. Главное, чтобы точек разрыва было не слишком много (чтобы мера этого множества была равна нулю, если интеграл имеется в виду по Риману). А на практике более чем конечного числа точек разрыва никогда и не встречается, так что практически все счастливы.

altro в сообщении #319062 писал(а):

Например, функция Дирихле имеет первообразную. А какие функции тогда не имеют?

В смысле Римана -- никак нет, не имеет. А в смысле Лебега -- да, имеет. Но в смысле Лебега поди-ка ещё сочини не интегрируемую функцию. Ей ведь (не беря в расчёт уныло-расходящиеся интегралы) придётся стать ещё и неизмеримой. Что неконструктивно.

[AD]

В каком смысле понимается первообразная? Вот Николай Николаевич считал, что у любой измеримой и почти всюду конечной функции есть первообразная, и причём их очень много (далеко не с точностью до константы), и процедура интегрирования как раз заключается в выборе среди них "самой правильной" (скажем, интеграл Лебега по возможности выбирает абсолютно непрерывные первообразные, и т.п.).