Функциональное исчисление в C* алгебрах

[kkar]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, в решении этих задач:
1)если $x,y$ - обратимы и $0\le x\le y$, то $y^{-1}\le x^{-1}$. Все происходит в унитальной $C^*$ - алгебре.
2)для любых $\lambda >0, x>0$ элемент $\lambda 1+x$ обратим. $\lambda$ - вещественное число, $x$ - элемент алгебры.

1)Пытаюсь решить так:
если допустить, что верно такое утверждение: $1\le y \Rightarrow y^{-1}\le 1$, то получаем
$x\le y \Rightarrow 1=x^{-1/2}\cdot x \cdot x^{-1/2} \le x^{-1/2} \cdot y \cdot x^{-1/2} \Rightarrow (x^{-1/2} \cdot y \cdot x^{-1/2})^{-1} \le 1 \Rightarrow x^{1/2} \cdot y^{-1} \cdot x^{1/2} \le 1 \Rightarrow y^{-1} \le ((x^{1/2})^{-1})^{-1}=x^{-1}$

А вот как доказать это промежуточное утверждение?
2) совсем нет идей.

[id]

Уточните, пожалуйста, что понимается под "$>$".

Вспоминается определение: элемент унитальной инволютивной алгебры положителен, если он самосопряженен и его спектр лежит в $\mathbb R_+$. Но это приводит к бессмыслице во втором пункте.

[kkar]

Именно упомянутое Вами определение и понимается. А в чем бессмыслица? Под спектром ведь понимается множество тех чисел $\mu$, что $\mu -x$ - необратим. Немного другое, чем то, что указано в утверждении.

[id]

Ну да, просто местами под спектром понимается множество таких $\lambda$, что $x+\lambda \mathbf 1$ необратим. В таком случае второй пункт очевиден, ведь $\lambda \mathbf 1 -x$ необратим $\Leftrightarrow x + (- \lambda) \mathbf 1$ необратим.

Для того определения (которое выше, $\lambda \in \sigma(x) \Leftrightarrow x+\lambda \mathbf 1$ необратим) тот вопросик, что в первом пункте, доказывается как-то так:
$\lambda \in \sigma(1-y^{-1}) \Leftrightarrow -\lambda \in \sigma(y^{-1} - 1) \Leftrightarrow -\lambda - 1 \in \sigma(y^{-1}) \Leftrightarrow - \frac {1} {\lambda + 1} \in \sigma(y) \Leftrightarrow 1 - \frac {1} {\lambda + 1} \in \sigma(y-1) \Leftrightarrow \frac {\lambda} {\lambda + 1} \in \sigma(y-1)$. Ну а дальше все понятно. А эти выкладки - просто расписать надо определения соотв. спектров слева и справа.

[id]

Ну и пусть $\sigma_0(y)$ -это спектр в Вашем смысле. Тогда $\lambda \in \sigma_0(y) \Leftrightarrow -\lambda \in \sigma(y)$.

Значит (используя то, что выше),
$\lambda \in \sigma_0(1-y^{-1}) \Leftrightarrow -\lambda \in \sigma(1-y^{-1}) \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow \frac {\lambda} {1-\lambda} \in \sigma_0(y-1)$.

Ну и если допустить, что слева в спектре есть $\lambda < 0$, то все.

[kkar]

Все понятно, спасибо!